分割の母関数を

　　ｆ（ｘ）＝ｐ（０）＋ｐ（１）ｘ＋ｐ（２）ｘ^2＋ｐ（３）ｘ^3＋・・・

とする．

　１を超える部分をもたない分割は

　　ｎ＝１＋１＋・・・＋１

ただひとつであるから，

　　ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ）＝１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・

　次に

　　ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ^2）＝１＋ｘ^2＋ｘ^4＋ｘ^6＋・・・

を考える．ｘ^6の項をみると６が唯一の分割をもつことを意味している．それは６＝２＋２＋２，すなわち部分がすべて２の分割である．

　それでは

　　ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）

＝（１＋ｘ＋ｘ^2＋ｘ^3＋・・・）（１＋ｘ^2＋ｘ^4＋ｘ^6＋・・・）

＝１＋ｘ＋２ｘ^2＋２ｘ^3＋３ｘ^4＋・・・

は何を意味しているのだろうか？

　たとえば，ｘ^4の係数３はぶぶんが１と２の分割

　　２＋２，１＋１＋２，１＋１＋１＋１

の３通りに対応している．

　これを続けていると

　　ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・・・１／（１−ｘ^m）

は部分がｍを超えないｎの分割の個数を表している．

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［１］　ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^2）・１／（１−ｘ^3）・・・

は大きさに関する制限のないｎの分割の個数

［２］　ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ）・１／（１−ｘ^3）・１／（１−ｘ^5）・・・

は奇数の部分だけのｎの分割の個数

［３］ｎの等しくない部分への分割の個数は，奇数の部分だけのｎの分割の個数に一致する．

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