■分割数の漸近挙動(その60)

 三角関数を一般化したものとしては楕円関数(1800年代)が代表的ですが,これらの関数を用いてアーベル関数論(1900年代)への発展が見られました.

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【1】オイラーと三角関数

 オイラーは三角関数sinxの零点が0,±π,±2π,±3π,・・・であることから三角関数を因数分解して,無限乗積

  sinx=xΠ(1−x^2/n^2π^2)

  sin(πx)=πxΠ(1−x^2/n^2)=π/Γ(x)Γ(1−x)

を得ました.

 sinxの無限乗積とベキ級数展開(テイラー展開)

  sinx=x−x^3/3!+x^5/5!−x^7/7!+・・・

を用いれば,偶数ゼータの値

  ζ(2)=π^2/6,ζ(4)=π^4/90,ζ(6)=π^6/945,ζ(8)=π^8/9450,・・・

が得られます.

  S1(x)=2sin(πx)=2πxΠ(1−x^2/n^2)=(exp(πix)−exp(−πix))/i

と定義すると,n分値,2n分値に関して

  ΠS1(k/2n)=n^(1/2)   (k=1~n-1)

  ΠS1(k/n)=n   (k=1~n-1)  (→楕円関数への一般化がある)

が成り立ちます.

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【2】レムニスケート三角関数

  sl(x)=xΠ(1−x^4/α^4)/Π(1−x^4/β^4)

  α=(m+ni)ω,β=(m+ni)ω/2をわたる.

すなわち,x→x+ωi,x+2ωの2重周期になっている(ガウス).

  π=2∫(0,1)dt/(1−t^2)^1/2

に対して,

  ω=2∫(0,1)dt/(1−t^4)^1/2

で定義される.

  Σ1/(m+ni)^4=ω^4/10   (フルヴィッツの公式)

 レムニスケート三角関数の加法定理についてはコラム「楕円積分の加法定理」を参照されたい.

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【3】ヤコビのsn関数

  sn(x,k)=xΠ(1−x/α)/Π(1−x/β)

  ∫(0,sn(x,k))dt/(1−t^2)(1−k^2t^2)^1/2=x

で定義される.

[1]k=0のとき

  ∫(0,sin(x))dt/(1−t^2)^1/2=x

[2]k=iのとき

  ∫(0,sl(x))dt/(1−t^4)^1/2=x

[3]k=1のとき

  ∫(0,sn(x,1))dt/(1−t^2)=x

より

  sn(x,1)=tanh(x)

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