■分割数の漸近挙動(その57)

an=(an-1+bn-1)/2,bn=√(an-1・bn-1)は

a1>a2>・・・>an>bn>bn-1>・・・>b1

で,同じ極限値に到達する.

 この極限値を算術幾何平均M(a,b)と記す.

  M(ra,rb)=rM(a,b)

が成り立つので,一般にM(1,x)が計算できればよいことがわかる.

 k’=a/b,k^2=1−k’^2

とすると

 M(a,b)=aM(1,k’)

 1/M(1,k’)=2/π・∫(0,1)dx/(1−x^2)(1−k^2x^2)

が成り立つ.

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 πとωはそれぞれ,

  π=2∫(0,1)1/√(1-x^2)dx=3.14159・・・(円周率)

  ω=2∫(0,1)1/√(1-x^4)dx=2.62205・・・(レムニスケート周率)

  ∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2(1/4)/2^(5/2)π^(1/2)

 ガウスの算術幾何平均

  M(a,b)=π/2/∫(0,π/2)dθ/(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)^(1/2)

より

  M(√2,1)=π/ω

また,レルヒの公式

  Δ(i)=(ω/π√2)^12=Γ^24(1/4)/2^24π^18

  E4(i)=3(ω/π)^4=3Γ^8(1/4)/64π^6

もこの兄弟分にあたる.

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