■分割数の漸近挙動(その53)

 テータ関数

  θ(τ,z)=Σexp(πin^2τ+2πinz)

は概周期性

  θ(τ,z+1)=θ(τ,z)

  θ(τ,z+τ)=exp(−πiτ−2πiz)θ(τ,z)

を有している.

 ここで,a,bは0または1をとるとして,テータ関数を一般化すると

  θab(τ,z)=Σexp(πi(n+a/2)^2τ+2πi(n+a/2)(z+b/2))

  θab(τ,z+1)=exp(πia)θab(τ,z)

  θab(τ,z+τ)=exp(−πiτ−2πi(z+b/2))θab(τ,z)

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 テータ関数,|q|<1のとき

   Θ1=Π(1+q^2n)=−θ11 → 収束

   Θ2=Π(1+q^2n-1)=θ10 → 収束

   Θ3=Π(1−q^2n-1)=θ00 → 収束

   Θ4=Π(1−q^2n)=θ01 → 収束

   Θ1Θ2Θ3Θ4=Θ4,Θ1Θ2Θ3=1

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