■分割数の漸近挙動(その49)

【1】オイラーの5角数公式,ヤコビの3角数公式の一般化

  Π(1-q^n)=Σ(-1)^m・q^(m(3m+1)/2)   (オイラーの5角数定理)

  Π(1-q^n)^3=Σ(-1)^m(2m+1)q^((m^2+m)/2)   (ヤコビの3角数定理)

 一般に,正の整数cに対して

  Π(1-q^n)^c=Σamq^m

を求めることは数学者の興味をかきたててきた.オイラー(c=1),ヤコビ(c=3),ロジャース,ヘッケ(c=2),ラマヌジャン(c=4,6,8),アトキンス(c=10,14,26),ダイソン(c=3,8,10,14,15,21,24,26,・・・)

 マクドナルドは1972年に

  c=n^2+2n

  c=2n^2+n

  c=2n^2−n

に対する一般公式,および,c=14,52,78,133,248に対する公式を発見した.

 ロジャース,ヘッケ(c=2),ラマヌジャン(c=4),アトキンス(c=26)はマクドナルドの公式に含まれていないことを注意.この分野の研究はいまでも続いている.

===================================