（その３８）の続き．

和はｕ→−ｕに関して不変であるから

ｆ（−１／ｚ）

＝√（ｚ／３ｉ）ｅｘｐ（πｉ／１２）Σｅｘｐ（πｉｚｕ^2／１２）｛ｅｘｐ（πｉｕ／６）＋ｅｘｐ（−πｉｕ／６）｝／２

ｕ＝３ｖ＝０（ｍｏｄ３），ｖ＝１（ｍｏｄ２）に対して

｛ｅｘｐ（πｉｕ／６）＋ｅｘｐ（−πｉｕ／６）｝／２＝０

ｕ＝±１（ｍｏｄ６）は変換ｕ→−ｕに関して６ｕ＋１→６ｕ−１

よってｘｕ＝１（ｍｏｄ６）について和をとり，その和を２倍すればよい．

ｆ（−１／ｚ）

＝√（ｚ／３ｉ）ｅｘｐ（πｉｚ／１２＋πｉ／１２ｚ）Σｅｘｐ（πｉｚｎ^2＋２πｉｎ（１／２＋ｚ／２））

＝√（ｚ／ｉ）ｅｘｐ（πｉｚ／１２＋πｉ／１２ｚ）ｆ（ｚ）

こうして，テータ関数の変換公式

　　ｇ（−１／ｚ）＝√（ｚ／ｉ）ｇ（ｚ）

が証明された．ｇ（ｚ）は周期１をもたないが

　　ｇ（ｚ＋１）＝εｇ（ｚ），ε＝ｅｘｐ（πｉ／１２）

が成り立つ．

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　　ｇ（ｚ）＝ｅｘｐ（πｉｚ／１２）Π（１−ｅｘｐ（２πｉｎｚ））

はデデキントのイータ関数と呼ばれる．

　　ｇ（ｚ）＝η（ｚ）

　モジュラー関数は

　　ｚ→（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

に関して，ｋ（（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ））＝ｋ（ｚ）を満たす関数である．

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