■分割数の漸近挙動(その39)

 (その38)の続き.

和はu→−uに関して不変であるから

f(−1/z)

=√(z/3i)exp(πi/12)Σexp(πizu^2/12){exp(πiu/6)+exp(−πiu/6)}/2

u=3v=0(mod3),v=1(mod2)に対して

{exp(πiu/6)+exp(−πiu/6)}/2=0

u=±1(mod6)は変換u→−uに関して6u+1→6u−1

よってxu=1(mod6)について和をとり,その和を2倍すればよい.

f(−1/z)

=√(z/3i)exp(πiz/12+πi/12z)Σexp(πizn^2+2πin(1/2+z/2))

=√(z/i)exp(πiz/12+πi/12z)f(z)

こうして,テータ関数の変換公式

  g(−1/z)=√(z/i)g(z)

が証明された.g(z)は周期1をもたないが

  g(z+1)=εg(z),ε=exp(πi/12)

が成り立つ.

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  g(z)=exp(πiz/12)Π(1−exp(2πinz))

はデデキントのイータ関数と呼ばれる.

  g(z)=η(z)

 モジュラー関数は

  z→(az+b)/(cz+d)

に関して,k((az+b)/(cz+d))=k(z)を満たす関数である.

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