オイラーは積Π(1-x^n)に対する注目すべき式

　　Π(1-x^n)＝Σ(-1)^k･ｘ^(3k^2+k)/2

を見出しました．

　すなわち，Σｂmｘ^m

　　ｍ＝(3k^2+k)/2のとき，ｂm＝０，

　　ｍ≠(3k^2+k)/2のとき，ｂm＝(-1)^k

　(3k^2+k)/2は五角数とも呼ばれ，ここでベキ級数の指数に初めて２次式が登場した．オイラーがこの予想を提起し，彼自身が証明を見出すまで多くの年月が過ぎた．のちにヤコビにより一般的に研究された．

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　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ），ｚ＝ｘ＋ｉｙ

　　Π（１−ｑ^n）＝Σ(-1)^k･ｅｘｐ（πｉｚ(3k^2+k)）

　　Π（１−ｅｘｐ（πｉｎｚ）＝Σｅｘｐ（πｉ３ｚｎ^2＋２πｉｎ（１／２＋ｚ／２））

　両関数は変換ｚ→ｚ＋１に対して不変，ｚ→−１／ｚに対して簡単な性質が与えられるから，モジュラー群

　　ｚ→（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

を生成する．フーリエ展開により

　Σｅｘｐ（πｉｚ（ｎ＋ｗ）^2）＝√（ｉ／ｚ）Σｅｘｐ（−πｉｎ^2／ｚ＋２πｉｎｗ）

　右辺の和をｚ→−１／ｚで置き換えると，テータ関数

　　θ（ｚ，ｗ）＝Σｅｘｐ（πｉｎ^2ｚ＋２πｉｎｗ）

となる．

　　θ（−１／ｚ，ｗ）＝Σｅｘｐ（πｉｚ（ｎ＋ｗ）^2）

　また，

　　Π（１−ｅｘｐ（πｉｎｚ）＝Σｅｘｐ（πｉ３ｚｎ^2＋２πｉｎ（１／２＋ｚ／２））の右辺はθ（３ｚ，１／２＋ｚ／２）

＝ｆ（ｚ）とおくと

ｆ（−１／ｚ）＝θ（−３／ｚ，１／２−１／２ｚ）

２ｎ＋１＝ｕとおくと

＝√（ｚ／３ｉ）ｅｘｐ（πｉ／１２）Σｅｘｐ（πｉｚｕ^2／１２＋πｉｕ／６）

こうして，ベキ指数内にｚの１次関数のみが現れるように変形されたことになる．

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