■分割数の漸近挙動(その30)

 オイラーは

 (1+z+z^2+・・・)(1+z^2+z^4+・・・)(1+z^3+z^6+・・・)

のz^nの係数は

  j+2k+3l+・・・=n

の非負整数解となっていることに気づいた.

 また,

 (1+z+z^2+・・・)(1+z^2+z^4+・・・)(1+z^3+z^6+・・・)=1/(1−z)・1/(1−z^2)・1/(1−z^3)・・・

であるから,

  P(z)=Π1/(1−z^m)=Σp(n)z^n

 p(n)は分割数,P(z)はその母関数である.

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【1】オイラーの恒等式

 1/P(z)=Π(1−z^m)

では多くの相殺を生じ,

  Π(1−z^m)=Σ(−1)^nz^(3n^2+n)/2

=1−z−z^2+z^5+z^7−z^12−z^15+z^22+z^26−・・・

となる.

[証]ヤコビの恒等式

  Π(1−u^kv^k-1)(1−u^k-1v^k)(1−u^kv^k)

=Σ(−1)nu^nC2v^nC2

において,u=z,v=z^2とおくと,左辺は

  Π(1−z^3k-2)(1−z^3k-1)(1−z^3k)=Σ(−1)^nz^(3n^2+n)/2

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【2】オイラーの漸化式

 オイラーの恒等式は,漸化式が

  p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-・・・

を満たすことを意味している.

 これより,

n 0,1,2,3,4,5, 6, 7, 8, 9,10,11,12, 13, 14, 15

p(n)=1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176

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