■分割数の漸近挙動(その21)

[1]nを相異なる部分に分割するやり方の数:q(n)

  5=4+1=3+2

[2]nを奇数の値をもつ部分に分割するやり方の数:r(n)

  5=3+1+1=1+1+1+1+1

は等しい.

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[1]の母関数は

  (1+z)(1+z^2)(1+z^3)・・・

[2]の母関数は

  1/(1−z)(1−z^3)(1−z^5)・・・

[1]は

  (1−z^2)(1−z^4)(1−z^6)・・・/(1−z)(1−z^2)(1−z^3)・・・

約分すると[2]が得られる.

[別証]

1/(1−z)=(1+z)(1+z^2)(1+z^4)(1+z^8)・・・

のzをz^3,z^5,・・・に置き換えて掛け合わせる.

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