オイラーは

　（１＋ｚ＋ｚ^2＋・・・）（１＋ｚ^2＋ｚ^4＋・・・）（１＋ｚ^3＋ｚ^6＋・・・）

のｚ^nの係数は

　　ｊ＋２ｋ＋３ｌ＋・・・＝ｎ

の非負整数解となっていることに気づいた．

　また，

　（１＋ｚ＋ｚ^2＋・・・）（１＋ｚ^2＋ｚ^4＋・・・）（１＋ｚ^3＋ｚ^6＋・・・）＝１／（１−ｚ）・１／（１−ｚ^2）・１／（１−ｚ^3）・・・

であるから，

　　Ｐ（ｚ）＝Π１／（１−ｚ^m）＝Σｐ（ｎ）ｚ^n

　ｐ（ｎ）は分割数，Ｐ（ｚ）はその母関数である．

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【１】オイラーの恒等式

　１／Ｐ（ｚ）＝Π（１−ｚ^m）

では多くの相殺を生じ，

　　Π（１−ｚ^m）＝Σ（−１）^nｚ^(3n^2+n)/2

＝１−ｚ−ｚ^2＋ｚ^5＋ｚ^7−ｚ^12−ｚ^15＋ｚ^22＋ｚ^26−・・・

となる．

［証］ヤコビの恒等式

　　Π（１−ｕ^kｖ^k-1）（１−ｕ^k-1ｖ^k）（１−ｕ^kｖ^k）

＝Σ（−１）nｕ^nC2ｖ^nC2

において，ｕ＝ｚ，ｖ＝ｚ^2とおくと，左辺は

　　Π（１−ｚ^3k-2）（１−ｚ^3k-1）（１−ｚ^3k）＝Σ（−１）^nｚ^(3n^2+n)/2

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【２】オイラーの漸化式

　オイラーの恒等式は，漸化式が

　　p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-･･･

を満たすことを意味している．

　これより，

n 0,1,2,3,4,5, 6, 7, 8, 9,10,11,12, 13, 14, 15

p(n)=1,1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176

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【３】フィボナッチ数の漸化式との比較

　　f(n)=f(n-1)+f(n-2)

と比較すると

　　p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-･･･

の-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-･･･は抑制効果を持っていることがわかるだろう．

　フィボナッチ数ではｆ（ｎ）＝Ｏ（φ^n）であるが，分割数ではある定数Ａに対して

　　ｐ（ｎ）＝Ｏ（Ａ^√n／ｎ）

　実際，ｐ（ｎ）の下界は　

　　ｐ（ｎ）〜Ｏ（ｅ^2√n／ｎ）

また，上界は

ｌｎＰ（ｚ）＝Σｌｎ１／（１−ｚ^m）＝ΣΣｚ^mn／ｎ

ｚ＝ｅｘｐ（−ｔ）として，ｚ＝１近傍の振る舞いを観察すると，

ｌｎＰ（ｅ^-t）＝ΣΣｅ^-mnt／ｎ

＝Σ１／ｎ・１／（ｅ^nt−１）＜Σ１／ｎ^2ｔ＝ζ（２）／ｔ

ｐ（ｎ）≦ｐ（ｎ＋１）≦ｐ（ｎ＋２）≦・・・，ｅｘｐ（ｔ）＞１から

ｐ（ｎ）／（１−ｅｘｐ（−ｔ））＜Σｐ（ｋ）ｅｘｐ（(n-k)t）＝ｅｘｐ（nt）Ｐ（ｅ^-t）＜ｅｘｐ（nt+ζ（２）／ｔ）

　ここで，ｔ＝｛ζ（２）／ｎ｝^1/2とすると，

　　ｐ（ｎ）＜Ｃｅｘｐ（2C√n）／√n，Ｃ＝｛ζ（２）｝^1/2＝π／√６

が得られる．

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