分割数p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　（その２）では

　　exp(2√n)/exp(5)n^2≦p(n)≦exp(π√(2n/3))

したがって，十分大きなｎに対しては

　　exp(c1√n)≦p(n)≦exp(c2√n)

となる評価が得られたことになります．

　ラマヌジャンの結果より粗いのですが，関数の増加に対するオーダーはわかります．今回のコラムではこれよりももっと粗いp(n)の上界

　　p(n)＜exp(3√n)

を示すことにしましょう．

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【１】分割数の漸近挙動

　分割関数の母関数

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

の対数をとると

　　lnf(x)=-ln(1-x)-ln(1-x^2)-ln(1-x^3)-･･･

=(x+x^2/2+x^3/3+･･･)+(x^2+x^4/2+x^6/3+･･･)+(x^3+x^6/2+x^9/3+･･･)+･･･

=(x+x^2+x^3+･･･)+(x^2+x^4+x^6+･･･)/2+(x^3+x^6+x^9+･･･)/3+･･･

=x/(1-x)+x^2/(1-x^2)/2+x^3/(1-x^3)/3+･･･

　ここで，x^n/(1-x^n)　　lnf(x)=x/(1-x){1+1/2^2+1/3^2+･･･}<2x/(1-x)

lnp(n)ここで，x=(n+√n)/n+3√n)とおくと，p(n)＜exp(3√n)

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【２】ディリクレによる約数関数の漸近挙動

　ここでは{1+1/2^2+1/3^2+･･･}<2としましたが，

　　{1+1/2^2+1/3^2+･･･}=π^2/6

とすることもできるでしょう．

　実は，円周法に基づく漸近公式の結果を正確に証明するだけでも，長くてこみ入った理論が必要になります．そこで漸近公式の概要だけを簡単に述べますが，σ(k)をｋの約数の和とすると，p(n)に対する漸化式

　　p(n)=1/nΣσ(k)p(n-k)

において，σ(k)の漸近的振る舞い

　　1/n^2Σσ(k)〜π^2/12

を用いると，ｎが大きい場合の分割数の漸近挙動

　　p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3

を得ることができます．このことから，p(n)は準指数関数と考えることができます（p(n)^(1/n)→1）．

　ここで，約数の総和関数σ(k)の漸近挙動

　　1/n^2Σσ(k)〜π^2/12

がでましたが，１８３８年，ディリクレはσ(n)の平均値が，大きいｎに対して　　1/nΣσ(k)〜π^2n/12

を示しました．

　　1/25Σσ(k)=20.88　→　ディリクレの評価はπ^2･25/12=20.56

　　1/50Σσ(k)=41.6　→　ディリクレの評価はπ^2･50/12=41.12

　　1/100Σσ(k)=82.99　→　ディリクレの評価はπ^2･100/12=82.25

　また，約数の個数関数ｄ(k)の平均値の漸近挙動について，ディリクレは

　　1/nΣｄ(k)〜ln(n)-2γ+1

を示しました．

　　1/25Σｄ(k)=3.48　→　ディリクレの評価はln(25)-2γ+1=3.37

　　1/50Σｄ(k)=4.14　→　ディリクレの評価はln(50)-2γ+1=4.07

　　1/100Σｄ(k)=4.82　→　ディリクレの評価はln(100)-2γ+1=4.76

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【３】オイラー関数φ(n)の漸近挙動

　オイラー関数φ(n)（ｎより小さくｎの互いに素な正整数の個数関数）は多くの興味深い性質をもっています．

　　σ(n)＋φ(n)＝nｄ(n)

はｎが素数であるための必要十分条件です．その上界・下界は

　　n^(1/2)/n＜φ(n)≦n-1

で与えられますが，１８５７年，リュービルは

　　ζ(s-1)／ζ(s)＝Σφ(n)／ｎ^s

を示しました．

　また，オイラー関数φ(n)の平均値については

　　1/nΣφ(k)/k（φ(n)の平均/n）〜{Σ1/n^2}^(-1)=6/π^2

　　1/n^2Σφ(k)〜3/π^2

のようになります．すなわち，大きいｎの値に対して，オイラー関数φ(n)の平均値は

　　1/nΣφ(k)〜3n/π^2

で近似されます．

　位数ｎのファレイ分数の個数は

　　１＋Σφ(k)

ですが，大きいｎに対して，この和は３（ｎ／π）^2で近似されることになります．また，１８８３年，シルベスターは位数ｎのファレイ分数の和が

　　（１＋Σφ(k)）／２

であることを示しました．

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