「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．

　　p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,

　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

ここで，p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，定義が簡単そうにみえるにも関わらず，易しい式で表すことはできません．

　p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法による漸近近似式：

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

が与えられています．

　　q(n)=1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

とおいて最も近い整数を求めてみると，

　　q(1)=2,q(2)=3,q(3)=4,q(4)=6,q(5)=9,q(6)=13,

　　q(7)=18,q(8)=26,q(9)=35,q(10)=48,q(11)=65,q(12)=87,･･･

となってそれほどよい評価式には思えませんが，漸近近似式はｎがどんどん大きくなるとき０に近づくような誤差項を含んだ公式であって，p(n)は整数なので，この公式を使えばp(n)の値を正確に計算できるようになります．

　その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

　明示公式はいわば「等式の世界」のものですが，実は円周法に基づく漸近公式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

の結果を正確に証明するだけでも，長くてこみ入った理論が必要になります．すなわち，「不等式の世界」→「漸近挙動の世界」を扱いますが，２０世紀に誕生した力学では，ｎが大きくなるときどのような振る舞いを見せるか，どのような統計法則が現れるかが重要な研究対象になっていて，整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．

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