■カルダノの公式(その51)

【3】4次方程式の解法(オイラーの方法)

 

4次方程式:

  ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

では,x=u−b/4aとおけば,

  u^4+pu^2+qu+r=0

  p=(8ac−3b^2)/8a^2

  q=(b^3−4abc+8a^2d)/8a^3

  r=(−3b^4+16ab^2c−64a^2bc+256a^3e)/256a^4

というように3次の項を欠いたuに関する4次方程式が得られます.カルダノ変換によって,まず3次の項を消すのです.

 

 また,因数分解の公式

  a^3+b^3+c^3−3abc

 =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2−ab−bc−ca)

 =(a+b+c)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω)

は,巡回行列式

    |a b c|

  Δ=|c a b|=a^3+b^3+c^3−3abc

    |b c a|

より得られるのですが,それと同様に,

    |a b c d|

  Δ=|d a b c|

    |c d a b|

    |b c d a|

   =a^4+b^4+c^4+d^4−2(a^2b^2+a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2+c^2d^2)+8abcd

   =(a+b+c+d)(a+b−c−d)(a−b+c−d)(a−b−c+d)

と因数分解できることを利用することにしましょう.

 

  u^4−2(x^2+y^2+z^2)u^2+8xyzu+x^4+y^4+z^4−2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)

 =(u+x+y+z)(u−x−y+z)(u−x+y−z)(u+x−y−z)

すなわち,uの4次式でu^3の項を欠いており,因数分解できる恒等式となっています.読者のなかにはこの式に対称の美を感じる人もいるのでしょうが,それにしてもずいぶん荘厳な(いかめしい)式です.

 

 ともあれ,

  p=−2(x^2+y^2+z^2),

  q=8xyz,

  r=x^4+y^4+z^4−2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)

なるx,y,zが見いだされれば,解は

  u=−x−y−z

  u=x+y−z

  u=x−y+z

  u=−x+y+z

となることがわかります.

 

 ここで,X=x^2,Y=y^2,Z=z^2とおけば,

  X+Y+Z=−p/2

  XYZ=(q/8)^2

  XY+YZ+ZX={(X+Y+Z)^2−(x^4+y^4+z^4)}/2=(p^2/4−r)/4

より,X,Y,Zは

  U^3+p/2U^2+(p^2/4−r)/4U−q^2/64=0

の解ということになりますから,3次方程式の根の公式に帰着され,係数で具体的に表せることが理解されます.

 

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