３次方程式：ｘ^3＝ｐｘ＋ｑの解は

　　ｘ＝3√Ａ＋3√Ｂ

　　Ａ＝ｑ／２＋√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

　　Ｂ＝ｑ／２−√（（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3）

で与えられる．

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　ｘ^3＝８ｘー３の場合，ｐ＝８，ｑ＝−３であるから

（ｑ／２）^2−（ｐ／３）^3＝ー５/３（１５/６）^2＜０

となる．

しかし、この方程式の根はｘ＝ー３，（３＋√５）/２，（３ー√５）/２であるからすべて実数である。どうなっているのだろうか？

上の公式は平方根の中は正であり、公式の立方根として実数をとる限りは複素数が現れないで、実数の根のみが与えられる。この奇妙なふるまいはこの公式が持っている悩ましい性質であるが、　このような欠陥を持たない公式はないのだろうか？

しかし、そのような公式は存在せず、３つの実数解を持つばあいであっても、複素数経由でたどり着かなければならないのである。，

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　ｘ^3＝ー６ｘ＋２０の場合，実数解はx=2だけであるのであるが、公式は

ｘ＝（１０＋√１０８）^1/3＋（１０ー√１０８）^1/3

を与える。

しかし、

１０＋√１０８＝１０＋６√３＝（１＋√３）^3

１０ー√１０８＝１０ー６√３＝（１ー√３）^3

より、ｘ＝２に帰着されるのである

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