■カルダノの公式(その43)

 3次方程式:x^3=px+qの解は

  x=3√A+3√B

  A=q/2+√((q/2)^2−(p/3)^3)

  B=q/2−√((q/2)^2−(p/3)^3)

で与えられる.

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 x^3=15x+4の場合,

  A=2+√(2^2−5^3)=2+√(−121)=2+11i

  B=2−√(2^2−5^3)=2−√(−121)=2−11i

  x=3√A+3√B=3√(2+11i)−3√(2−11i)

となる.

 この方程式は明らかにx=4を根にもっているのだが,どうなっているのだろうか?

 実は

  (2+11i)=(2+i)^3,(2−11i)=(2−i)^3

より,

  x=(2+i)+(2−i)=4

となるのである.

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(a+bi)^2=(a^2−b^2)+2abi

(a+bi)^3

=a^3+3a^2bi−3ab^2−b^3i

=(a^3−3ab^2)+(3a^2b−b^3)i

=a(a^2−3b^2)+b(3a^2−b^2)i

(2+11i)→a(a^2−3b^2)=2,b(3a^2−b^2)=11

a=±1とすると,(1−3b^2)=±2→b=1→b(3−b^2)=11  (NG)

a=±2とすると,(4−3b^2)=±1→b=±1のみを考える

→b=±1→b(12−b^2)=11→b=1  (OK)

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