■カルダノの公式(その35)

 通常の整数の除法では

  a=qb+r,|r|<|b|

とすることができるが,ガウスの整数に対しても同様のことを考える.

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  a=5+3i,|a|^2=34

  b=3+i,|b|^2=10

  5+3i=(3+i)q+r,|r|^2<10

  r=5+3i−(3+i)q=(5−3q)+(3−q)i

  (5−3q)^2+(3−q)^2<10

  10q^2−36q+34<10

  q=2のとき40−72+34=2<10

とするのではqを通常の整数とみなしているが,qもガウスの整数であるので,NG.

(3+i)をひとつの格子点とし,辺の長さ|3+i|の正方格子点

  0,3+i,2(3+i),・・・

  i(3+i),(1+i)(3+i),(2+i)(3+i)

から5+3iに最も近い格子点を選ばなければならない.

 それは2(3+i)であって,|r|<|b|が成り立つ.

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