【３】ヴィエトの公式

　まず，任意のｘに対して，無限積公式

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

も示しておこう．

（証明）

　　ｓｉｎｘ＝２ｓｉｎｘ／２ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝４ｓｉｎｘ／４ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　＝８ｓｉｎｘ／８ｃｏｓｘ／８ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／２

　　　　　　　・・・・・

　　　　　　＝２^nｓｉｎｘ／２^nｃｏｓｘ／２^n・・・ｃｏｓｘ／２

　書き直すと

　　ｓｉｎｘ＝ｘ［ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）］ｃｏｓｘ／２・・・ｃｏｓｘ／２^n

　ここで，ｎ→∞のとき，

　　ｓｉｎ（ｘ／２^n）／（ｘ／２^n）→１

であるから，ｓｉｎｘの無限積表示

　　ｓｉｎｘ＝ｘΠｃｏｓｘ／２^n

　　　　　　＝ｘ（１−ｘ^2／π^2）（１−ｘ^2／４π^2）（１−ｘ^2／９π^2）・・・

が得られる．この結果は，ｓｉｎｘがｘ＝０，±π，±２π，±３π，・・・のとき，０になることに一致している．

　　ｓｉｎｘ／ｘ＝ｃｏｓｘ／２ｃｏｓｘ／４ｃｏｓｘ／８・・・

において，ｘ＝π／２とおくと，

　　２／π＝ｃｏｓπ／２^2ｃｏｓπ／２^3ｃｏｓπ／２^4・・・

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【４】ヴィエトの公式（その２）

　半角の公式

　　ｃｏｓｘ／２＝√（１＋ｃｏｓｘ）／２

また，

　　ｃｏｓπ／２^2＝１／√２

　　ｃｏｓπ／２^3＝√（１＋ｃｏｓπ／２^2）／２＝√（１／２＋１／２√１／２）

　　ｃｏｓπ／２^4＝√（１＋ｃｏｓπ／２^3）／２＝√（１／２＋１／２（１／２＋１／２√１／２））

以下同様の計算を続けることによって，

　　２／π＝√（１／２）√（１／２＋１／２√１／２）√（１／２＋１／２（１／２＋１／２√１／２））・・・

が得られる．

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どこまでも続くπですが、ヴィエトの公式に相当する式を日本の和算家・福島二本松出身の渡辺一も独自に発見しています。

和算においても円周率の値を求めることは重要なテーマであったが、それを式示すことは珍しかったようである。

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