■三角数かつ四角数(その17)

 S(2,n)=Σk^2=n(n+1)(2n+1)/6

は図形数としてみれば四角錐数である.

 一方,四面体数

  T1,T1+T2,T1+T2+T3,・・・,T1+・・・+Tn

=1,4,10,20,35,56,84,120,・・・

の一般項は

  n(n+1)(n+2)/6

である.

(証)

  Σk(k+1)/2=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4

=n(n+1)/12・(2n+1+3)

=n(n+1)(n+2)/6

 

   T1+T2+T3=T4

   T5+T6+T7+T8=T9+T10

   T11+T12+T13+T14+T15=T16+T17+T18

k行の和

  k(k+1)(k+2)(3k^2+6k+1)/6

  k(k+1)(k+2)/6

が共通している.

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