■三角数かつ四角数(その13)

【3】ラマヌジャンのパズル

(Q)1からn−1までの和がn+1からmまでの和に等しくなる(m,n)を求めよ.

(A)この問題は,

  (n−1)n/2=(m−n)(m+n−1)/2なる(m,n)を求めるものというものです.これを整理すると

  m^2+m=2n^2

になるのですが,両辺を4倍して1加えます.すると

  4m^2+4m+1=8n^2+1

  (2m+1)^2=2(2n)^2+1

 ここで,2m+1=p,2n=qとおくと

  p^2−2q^2=1  (ペル方程式)

に帰着されます.

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√2の最良近似分数列p/q

  1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70,239/169,577/408,・・・

において,

  p^2−2q^2=±1  (ペル方程式)

の±1は交互に繰り返し現れます.

  2^2+2^2=3^2−1

  5^2+5^2=7^2+1

  12^2+12^2=17^2−1

  ・・・・・・・・・・・・・</P>

 したがって,

  (p,q)=(3,2),(17,12),(99,70),(577,408),(3363,2378),・・・<

 →(m,n)=(1,1),(8,6),(49,35),(288,204),(1681,1189),・・・

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