【３】ラマヌジャンのパズル

（Ｑ）１からｎ−１までの和がｎ＋１からｍまでの和に等しくなる（ｍ，ｎ）を求めよ．

（Ａ）この問題は，

　　（ｎ−１）ｎ／２＝（ｍ−ｎ）（ｍ＋ｎ−１）／２なる（ｍ，ｎ）を求めるものというものです．これを整理すると

　　ｍ^2＋ｍ＝２ｎ^2

になるのですが，両辺を４倍して１加えます．すると

　　４ｍ^2＋４ｍ＋１＝８ｎ^2＋１

　　（２ｍ＋１）^2＝２（２ｎ）^2＋１

　ここで，２ｍ＋１＝ｐ，２ｎ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

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√２の最良近似分数列ｐ／ｑ

　　1/1,3/2,7/5,17/12,41/29，99/70,239/169,577/408,･･･

において，

　　ｐ^2−２ｑ^2＝±１　　（ペル方程式）

の±１は交互に繰り返し現れます．

　　２^2＋２^2＝３^2−１

　　５^2＋５^2＝７^2＋１

　　１２^2＋１２^2＝１７^2−１

　　・・・・・・・・・・・・・</P>

　したがって，

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・<

　→（ｍ，ｎ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・

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