１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．素数定理とは，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．

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　素数定理を予想するにはたくさんの素数が必要になり，実際，素数定理はガウスが素数表を眺めていたときに（実験的に）発見されました．素数定理を合理的に予想することは驚くほど難しいらしいのですが，以下に，この予想を発見的に導くための簡単な発見的議論を示しておきます（マーチン）．

　整数ｘが素数である確率がｆ（ｘ）で表されるものとすると，確率１／ｘで自分より大きい素数を割り切る．ここで，ｘをｘ＋１に変更すると

　　ｆ（ｘ＋１）≒ｆ（ｘ）（１−ｆ（ｘ）／ｘ）

したがって，

　　ｆ’（ｘ）＝−（ｆ（ｘ））^2／ｘ

より，

　　ｆ（ｘ）＝１／（ｌｏｇｘ＋ｃ）

を得ることができる．

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ルジャンドルはc=1.08366・・・を経験的に割り出した。

　　π（ｘ）〜ｘ／（ｌｏｇｘ-1.083）

ルジャンドル数と呼ばれるが、この数には歴史的興味しかない

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