Ｆn＝２^(2^n)＋１

の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７は素数であることがわかります．

　Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝２^32＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７

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　最後の桁が６である数の平方は，最後の桁が６になることは明らかであろう．

　　（１０ｋ＋６）^2＝１０（１０ｋ^2＋１２ｋ）＋３６＝１０（１０ｋ^2＋１２ｋ＋３）＋６

　最後の２桁について調べてみると，

　（１００ｋ＋０６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１２ｋ）＋３６

　（１００ｋ＋１６）^2＝１００（１００ｋ^2＋３２ｋ＋２）＋５６

　（１００ｋ＋２６）^2＝１００（１００ｋ^2＋５２ｋ＋６）＋７６

　（１００ｋ＋３６）^2＝１００（１００ｋ^2＋７２ｋ＋１２）＋９６

　（１００ｋ＋４６）^2＝１００（１００ｋ^2＋９２ｋ＋２１）＋１６

　（１００ｋ＋５６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１１２ｋ＋３１）＋３６

　（１００ｋ＋６６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１３２ｋ＋４３）＋５６

　（１００ｋ＋７６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１５２ｋ＋５７）＋７６

　（１００ｋ＋８６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１７２ｋ＋７３）＋９６

　（１００ｋ＋９６）^2＝１００（１００ｋ^2＋１９２ｋ＋９２）＋１６

より，

　Ｆ3 　Ｆ4 　Ｆ5 　Ｆ6 　Ｆ7

　５６→３６→９６→１６→５６

と周期４で巡回するから，

　Ｆ11　Ｆ15 　Ｆ19　Ｆ23　Ｆ24

　５６→５６→５６→５６→３６

Ｆ24＝２^(2^24)＋１の最後の２桁は３７であることがわかる．

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[Q]2^2^24の下2桁を求めよ

[A]整数の下2桁を求めるためにはmod100を計算すればよい。

φ(100)=40

(a,m)=1とするときa^φ(m)=1 (modm)　　（フェルマー・オイラーの定理）

より,a=2, m=100とすると(a,m)≠1

この方法は使えない

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