■トーシェント関数と非トーション(その71)

 m|φ(p^m-1)は任意のmについて成り立つトーシェント関数の(奇妙だが)重要な性質である。

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φ(p^m)=p^(m-1)(p-1)

φ(p^m)=p^(m-1)(p-1)

p^(m-1)=1 (modm)

φ(p^m)=(p-1) (modm)

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φ(p^m-1)=?

φ(p^m-1)=? (modm)

どうやって証明すればよいのだろうか?

p^(m)=p (modm)

p^(m)-1=p-1 (modm)

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位数p^m-1をもつGF*(p^m)が原始元とその異なるp^m-1個のベキ

{α,α^2,α^3,・・・,α^(p^m-1)=1}

によって表現することができる。

α^k,k=1,2,・・・,p^m-1によって、非0のp^m-1個の元をすべて生成することができる。

α^nは(n,p^m-1)=1のとき原始元となるので、たとえば、p=1,m=4のとき

明らかにφ(15)=8である。

一般に、α^nの位数は(p^m-1)/(n,p^m-1)である。位数Tをもつ元の数はφ(T)で、Tはp^m-1の約数でなければならない。

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GF(p^m)は p^m個のm組のベクトルが存在する

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