■トーシェント関数と非トーション(その24)

[Q](2a)!(2b)!/a!b!(a+b)!は整数であることを証明せよ.

[A]

 N1=(2a+2b)!/a!b!(a+b)!は整数である.

 N2=(2a+2b)!/(2a)!(2b)!は整数である.

しかし,

 N=N1/N2=(2a)!(2b)!/a!b!(a+b)!

が整数であるとは限らない.

===================================

 a≧bとしても一般性は失われない.帰納法を使ってみると

[1]b=0のとき,(2a)!/a!a!は整数 (OK)

[2]N=(2a)!(2b)!/a!b!(a+b)!

=(a+b+1)(a+b+2)・・・(2a)・(b+1)(b+2)・・・(2b)/a!は整数であるとする.

M=(2a)!(2b+2)!/a!(b+1)!(a+b+1)!

M/N=(2b+1)(2b+2)/(b+1)(a+b+1)

=2(2b+1)/(a+b+1)

M=2(2b+1)N/(a+b+1)

N/(a+b+1)が整数であればよいことになるが,

a!N=(a+b+1)(a+b+2)・・・(2a)・(b+1)(b+2)・・・(2b)

a!N/(a+b+1)=(a+b+2)・・・(2a)・(b+1)(b+2)・・・(2b)

において,1,・・・,aは(a+b+1)では割り切れない→Nは(a+b+1)で割り切れる→Mは整数

===================================