［Ｑ］（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！は整数であることを証明せよ．

［A］

　Ｎ1＝（２ａ＋２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！は整数である．

　Ｎ2＝（２ａ＋２ｂ）！／（２ａ）！（２ｂ）！は整数である．

しかし，

　Ｎ＝Ｎ1／Ｎ2＝（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！

が整数であるとは限らない．

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　ａ≧ｂとしても一般性は失われない．帰納法を使ってみると

［１］ｂ＝０のとき，（２ａ）！／ａ！ａ！は整数　（ＯＫ）

［２］Ｎ＝（２ａ）！（２ｂ）！／ａ！ｂ！（ａ＋ｂ）！

＝（ａ＋ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）／ａ！は整数であるとする．

Ｍ＝（２ａ）！（２ｂ＋２）！／ａ！（ｂ＋１）！（ａ＋ｂ＋１）！

Ｍ／Ｎ＝（２ｂ＋１）（２ｂ＋２）／（ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋１）

＝２（２ｂ＋１）／（ａ＋ｂ＋１）

Ｍ＝２（２ｂ＋１）Ｎ／（ａ＋ｂ＋１）

Ｎ／（ａ＋ｂ＋１）が整数であればよいことになるが，

ａ！Ｎ＝（ａ＋ｂ＋１）（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）

ａ！Ｎ／（ａ＋ｂ＋１）＝（ａ＋ｂ＋２）・・・（２ａ）・（ｂ＋１）（ｂ＋２）・・・（２ｂ）

において，１，・・・，ａは（ａ＋ｂ＋１）では割り切れない→Ｎは（ａ＋ｂ＋１）で割り切れる→Ｍは整数

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