■トーシェント関数と非トーション(その22)

[Q]100!=?  (mod10^25)

[A]ある偶数aがあって,

  100!=a・10^24

また,100=4・25=(400)5より

  a・2^24=100!/5^24=4 (mod5)

2^0→2^1→2^2→2^3→2^4→・・・

(mod5)で考えると,下1桁は

1→2→4→3→1→・・・と周期4で巡回する.

  2^24=1 (mod5)

  a=4 (mod10)→a=4または9 (mod10)

  aは偶数であるから,a=4.

すなわち,100!=4・10^24  (mod10^25)

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[Q]10!=?  (mod10^3)

[A]ある偶数aがあって,

  10!=a・10^2

また,10=2・5=(20)5より

  a・2^2=10!/5^2=2 (mod5)

2^0→2^1→2^2→2^3→2^4→・・・

(mod5)で考えると,下1桁は

1→2→4→3→1→・・・と周期4で巡回する.

  2^2=4 (mod5)

  4a=2 (mod10)→a=3または8 (mod10).

  aは偶数であるから,a=8

すなわち,10!=8・10^2  (mod10^3)

直接計算して,1の位の数が何になるかを求めると,

1・3・4・6・7・8・9=8  (mod10^3)

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