■トーシェント関数と非トーション(その15)

  φ(n)=Σμ(n/d)d=nΣμ(d)・1/d

を確かめた。

n=1のとき,1=φ(1)=1(1/1)=1

n=2のとき,1=φ(2)=2(1/1-1/2)=1

n=3のとき,2=φ(3)=3(1/1-1/3)=2

n=4のとき,2=φ(4)=4(1/1-1/2+0/4)=2

n=5のとき,4=φ(5)=5(1/1-1/5)=4

n=6のとき,2=φ(6)=6(1/1-1/2-1/3+1/6)=2

n=7のとき,6=φ(7)=7(1/1-1/7)=6

n=8のとき,4=φ(8)=8(1/1-1/2+0/4+1/8)=4

n=9のとき,6=φ(9)=9(1/1-1/3+0/9)=6

n=10のとき、4=φ(10)=10(1/1-1/2-1/5+1/10)=4

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Σμ(d)・1/d=1−Σ1/pi+Σ1/pipj-・・・=Π(1−1//pi)より、

  φ(n)/n=Π(1−1/pi)

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ディリクレ級数

F(s)=Σf(n)/n^s)

に対して、f(n)が乗法的であれば

F(s)=Π(1+f(p)/p^s+f(p^2)/p^2s+・・・)=Π(1-f(p)/p^s)^(-1)

k>1のときμ(p^k)=0であるから

1-1/p^s=1+μ(p)/p^s+μ(p^2)/p^2s+・・・

1/ζ(s)=Π(1-1/p^s)=Π(1+μ(p)/p^s+μ(p^2)/p^2s+・・・)=Σμ(n)/n^s

となる。

s=2のとき、Σμ(n)/n^2=1/ζ(2)=6/π^2

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同様に

Σφ(n)/n^s=ζ(s-1)/ζ(s)

が得られる。

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