ｄをｎの約数とする．

　　ｎ＝Σφ（ｄ）

はｎがφ（ｎ）のメビウス変換であることを示している。一般に、

Ｆ（ｎ）＝Σｆ（ｄ）のとき、

ｆ（ｎ）＝Σμ（ｎ/ｄ）Ｆ（ｄ）

となる。Ｆ（ｎ）はｆ（ｎ）のメビウス変換、ｆ（ｎ）はＦ（ｎ）の逆メビウス変換と呼ばれる。

約数全体の和たる総和を積分にたとえるならば、メビウス関数をとることは微分することに似ている。

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　φ（ｍ）は，ｍと互いに素であり，ｍより小さい整数ｒ，１≦ｒ＜ｍの個数として定義される．すなわち，φ（ｍ）は１からｍ−１までの整数のうち，ｍと公約数をもたない数はいくつあるかを数えた数を表す．

　ｍ＝９→１，２，４，５，７，８→φ（９）＝６

　ｍ＝１０→１，３，７，９→φ（１０）＝４

　φ（１）＝１，φ（２）＝１，φ（３）＝２，φ（４）＝２

　φ（５）＝４，φ（６）＝２，φ（７）＝６，φ（８）＝４

　φ（９）＝６，φ（１０）＝４，

　φ（ｐ）＝ｐ−１

　φ（ｐ^a）＝（ｐ−１）ｐ^(a-1)＝ｐ^a（１−１／ｐ）

　φ（ｍ）＝ｍΠ（１−１／ｐi）

　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

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ｄをｎの約数とする．

　　ｎ＝Σφ（ｄ）

を確かめてみたい。

ｎ＝１のとき，１＝φ(１)＝１

ｎ＝２のとき，２＝φ(１)＋φ(２)＝２

ｎ＝３のとき，３＝φ(１)＋φ(３)＝３

ｎ＝４のとき，４＝φ(１)＋φ(２)＋φ(４)＝４

ｎ＝５のとき，５＝φ(１)＋φ(５)＝５

ｎ＝６のとき，６＝φ(１)＋φ(２)＋φ(３)＋φ(６)＝６

ｎ＝７のとき，７＝φ(１)＋φ(７)＝７

ｎ＝８のとき，８＝φ(１)＋φ(２)＋φ(４)＋φ(８)＝８

ｎ＝９のとき，９＝φ(１)＋φ(３)＋φ(９)＝９

ｎ＝10のとき、１０＝φ(１)＋φ(２)＋φ(５)＋φ(１０)＝１０

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μ（ｎ）＝1　（ｎ＝1、ｎが偶数個の相異なる素数の積）

μ（ｎ）＝０　（ｎが平方数によって割り切れる）

μ（ｎ）＝-1　（ｎが奇数個の相異なる素数の積）

　μ（１）＝１，μ（２）＝-１，μ（３）＝-１，φ（４）＝０

　φ（５）＝-１，φ（６）＝１，φ（７）＝-１，φ（８）＝０

　φ（９）＝０，φ（１０）＝１，

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上の逆公式を応用すると

　　φ（ｎ）＝Σμ（ｎ/ｄ）ｄ＝ｎΣμ（ｄ）・1/ｄ

を得る。確かめてみたい。

ｎ＝１のとき，１＝φ(１)＝１（1/1）＝1

ｎ＝２のとき，１＝φ(２)＝２（1/1-1/2）＝1

ｎ＝３のとき，２＝φ(３)＝３（1/1-1/3）＝2

ｎ＝４のとき，２＝φ(４)＝４（1/1-1/2+0/4）＝2

ｎ＝５のとき，４＝φ(５)＝５（1/1-1/5）＝4

ｎ＝６のとき，２＝φ(６)＝６（1/1-1/2-1/3+1/6）＝2

ｎ＝７のとき，６＝φ(７)＝７（1/1-1/7）＝6

ｎ＝８のとき，４＝φ(８)＝８（1/1-1/2+0/4+1/8）＝4

ｎ＝９のとき，６＝φ(９)＝９（1/1-1/3+0/9）＝6

ｎ＝10のとき、４＝φ(１０)＝１０（1/1-1/2-1/5+1/10）＝4

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