■トーシェント関数と非トーション(その14)

dをnの約数とする.

  n=Σφ(d)

はnがφ(n)のメビウス変換であることを示している。一般に、

F(n)=Σf(d)のとき、

f(n)=Σμ(n/d)F(d)

となる。F(n)はf(n)のメビウス変換、f(n)はF(n)の逆メビウス変換と呼ばれる。

約数全体の和たる総和を積分にたとえるならば、メビウス関数をとることは微分することに似ている。

===================================

 φ(m)は,mと互いに素であり,mより小さい整数r,1≦r<mの個数として定義される.すなわち,φ(m)は1からm−1までの整数のうち,mと公約数をもたない数はいくつあるかを数えた数を表す.

 m=9→1,2,4,5,7,8→φ(9)=6

 m=10→1,3,7,9→φ(10)=4

 φ(1)=1,φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2

 φ(5)=4,φ(6)=2,φ(7)=6,φ(8)=4

 φ(9)=6,φ(10)=4,

 φ(p)=p−1

 φ(p^a)=(p−1)p^(a-1)=p^a(1−1/p)

 φ(m)=mΠ(1−1/pi)

 φ(10)=10(1−1/2)(1−1/5)=4

===================================

dをnの約数とする.

  n=Σφ(d)

を確かめてみたい。

n=1のとき,1=φ(1)=1

n=2のとき,2=φ(1)+φ(2)=2

n=3のとき,3=φ(1)+φ(3)=3

n=4のとき,4=φ(1)+φ(2)+φ(4)=4

n=5のとき,5=φ(1)+φ(5)=5

n=6のとき,6=φ(1)+φ(2)+φ(3)+φ(6)=6

n=7のとき,7=φ(1)+φ(7)=7

n=8のとき,8=φ(1)+φ(2)+φ(4)+φ(8)=8

n=9のとき,9=φ(1)+φ(3)+φ(9)=9

n=10のとき、10=φ(1)+φ(2)+φ(5)+φ(10)=10

===================================

μ(n)=1 (n=1、nが偶数個の相異なる素数の積)

μ(n)=0 (nが平方数によって割り切れる)

μ(n)=-1 (nが奇数個の相異なる素数の積)

 μ(1)=1,μ(2)=-1,μ(3)=-1,φ(4)=0

 φ(5)=-1,φ(6)=1,φ(7)=-1,φ(8)=0

 φ(9)=0,φ(10)=1,

===================================

上の逆公式を応用すると

  φ(n)=Σμ(n/d)d=nΣμ(d)・1/d

を得る。確かめてみたい。

n=1のとき,1=φ(1)=1(1/1)=1

n=2のとき,1=φ(2)=2(1/1-1/2)=1

n=3のとき,2=φ(3)=3(1/1-1/3)=2

n=4のとき,2=φ(4)=4(1/1-1/2+0/4)=2

n=5のとき,4=φ(5)=5(1/1-1/5)=4

n=6のとき,2=φ(6)=6(1/1-1/2-1/3+1/6)=2

n=7のとき,6=φ(7)=7(1/1-1/7)=6

n=8のとき,4=φ(8)=8(1/1-1/2+0/4+1/8)=4

n=9のとき,6=φ(9)=9(1/1-1/3+0/9)=6

n=10のとき、4=φ(10)=10(1/1-1/2-1/5+1/10)=4

===================================