■トーシェント関数と非トーション(その8)

(Q)(Pn-1)^2(n^2)!/P2n-1

は整数であることを証明せよ.

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[1]n=2のとき,P1^24!/P3=P1^24!/1!2!3!は整数

[2]n=kのとき,

(Pk-1)^2(k^2)!/P2k-1=(1)!・・・(k-1)!(k^2)!/{k!・(k+1)!・・・(2k-1)!}が整数であるとする.

[3](Pk)^2((k+1)^2)!/P2k+1=(1)!・・・(k)!(k+1)^2!/{(k+1)!・(k+2)!・・・(2k+1)!}

=(1)!・・・(k-1)!(k^2)!/{k!・(k+1)!・・・(2k-1)!}・k!{(k+1)^2}!/(k^2)!・k!/(2k)!(2k+1)!

=(Pk-1)^2(k^2)!/P2k-1・k!{(k+1)^2}!/(k^2)!・k!/(2k)!(2k+1)!

=(Pk-1)^2(k^2)!/P2k-1・(k+1)^2}!/(k^2)!{(k+1)(k+2)・・・(2k)}^2(2k+1)

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(k+1)^2}!/(k^2)!(2k+1)!は整数

(k!)(k!)/(2k)!は1/整数

(k+1)^2}!/(k^2)!(2k+1)!=(k^2+1)(k^2+2)・・・(k^2+2k+1)/(2k+1)!

(k!)(k!)/(2k)!=(k!)/(k+1)(k+2)・・・(k+k)

これらを掛け合わせると

(k^2+1)(k^2+2)・・・(k^2+2k+1)/{(k+1)(k+2)・・・(2k)}^2(2k+1)

分子は(2k)!で割り切れる

分母は(k!)^2で割り切れる

(2k)!は(k!)^2で割り切れる  (QED)

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