１／７＝０．１４２８５７１４２８５７・・・

　　　　（循環節：１４２８５７の長さ６）

の循環節の長さは偶数なことに注目し２分して，それを足してみると

　　１４２＋７５８＝９９９

　　１／１７＝０．０５８８２３５２９４１１７６４７・・・

　　　　（循環節：０５８８２３５２９４１１７６４７の長さ１６）

の場合は，

　　０５８８２３５２＋９４１１７６４７＝９９９９９９９９

　驚いたことに９が並ぶ．このように分母が７以上の１０を原始根とする素数で循環節の長さが偶数の場合，２分して足すと９が並ぶ．このことを理論的にとりあげたのは，Goodwyn(1801)であるという．

　次は，分子は１に限らないことにして

　　３／７＝０．４２８５７１４２８５７１・・・

　　　　（循環節：４２８５７１の長さ６）

の循環節を２分して，それを足してみると

　　４２８＋５７１＝９９９であるが，循環節を３分して，それを足してみると

　　４２＋８５＋７１＝１９８＝９９×２

　　［参］飯高茂「環論，これはおもしろい」共立出版

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【１】ａ／７の２分割和

　　１／７の循環節：１４２８５７→１４２＋７５８＝９９９

　　２／７の循環節：２８５７１４→２８５＋７１４＝９９９

　　３／７の循環節：４２８５７１→４２８＋５７１＝９９９

　　４／７の循環節：５７１４２８→５７１＋４２８＝９９９

　　５／７の循環節：７１４２８５→７１４＋２８５＝９９９

　　６／７の循環節：８５７１４２→８５７＋１４２＝９９９

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【２】ａ／７の３分割和

　　１／７の循環節：１４２８５７→１４＋２７＋５８＝９９

　　２／７の循環節：２８５７１４→２８＋５７＋１４＝９９

　　３／７の循環節：４２８５７１→４２＋８５＋７１＝１９８＝９９×２

　　４／７の循環節：５７１４２８→５７＋１４＋２８＝９９

　　５／７の循環節：７１４２８５→７１＋４２＋８５＝１９８＝９９×２

　　６／７の循環節：８５７１４２→８５＋７１＋４２＝１９８＝９９×２

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【３】ａ／１３の２分割和

　　１／１３の循環節：０７６９２３→０７６＋９２３＝９９９

　　２／１３の循環節：１６３８４６→１５３＋８４６＝９９９

　　３／１３の循環節：２３０７６９→２３０＋７６９＝９９９

　　４／１３の循環節：３０７６９２→３０７＋６９２＝９９９

　　５／１３の循環節：３８４６１５→３８４＋６１５＝９９９

　　６／１３の循環節：４６１５３８→４６１＋５３８＝９９９

　　７／１３の循環節：５３８４６１→５３８＋４６１＝９９９

　　８／１３の循環節：６１５３８４→６１５＋３８４＝９９９

　　９／１３の循環節：６９２３０７→６９２＋３０７＝９９９

　　１０／１３の循環節：７６９２３０→７６９＋２３０＝９９９

　　１１／１３の循環節：８４６１５３→８４６＋１５３＝９９９

　　１２／１３の循環節：９２３０７６→９２３＋０７６＝９９９

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【４】ａ／１３の３分割和

　　１／１３の循環節：０７６９２３→０７＋６９＋２３＝９９

　　２／１３の循環節：１６３８４６→１５＋３８＋４６＝９９

　　３／１３の循環節：２３０７６９→２３＋０７＋６９＝９９

　　４／１３の循環節：３０７６９２→３０＋７６＋９２＝１９８＝９９×２

　　５／１３の循環節：３８４６１５→３８＋４６＋１５＝９９

　　６／１３の循環節：４６１５３８→４６＋１５＋３８＝９９

　　７／１３の循環節：５３８４６１→５３＋８４＋６１＝１９８＝９９×２

　　８／１３の循環節：６１５３８４→６１＋５３＋８４＝１９８＝９９×２

　　９／１３の循環節：６９２３０７→６９＋２３＋０７＝９９

　　１０／１３の循環節：７６９２３０→７６＋９２＋３０＝１９８＝９９×２

　　１１／１３の循環節：８４６１５３→８４＋６１＋５３＝１９８＝９９×２

　　１２／１３の循環節：９２３０７６→９２＋３０＋７６＝１９８＝９９×２

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【５】ａ／７１の５分割和

　少年時代のガウスは１／７１の循環節の長さが３５であることを確認したが，これに対しては５分割和を考えることができる．たとえば

　　１／７１の循環節：０１４０８４５＋０７０４２２５＋３５２１１２６＋７６０５６３３＋８０２８１６９＝１９９９９９９８＝９９９９９９９×２

　　７０／７１の循環節：９８５９１５４＋９２９５７７４＋６４７８８７３＋２３９４３６６＋１９７１８３０＝２９９９９９９７＝９９９９９９９×３

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