■アルティンの定数(その2)

  1/7=0.142857142857・・・

    (循環節:142857の長さ6)

の循環節の長さは偶数なことに注目し2分して,それを足してみると

  142+758=999

  1/17=0.0588235294117647・・・

    (循環節:0588235294117647の長さ16)

の場合は,

  05882352+94117647=99999999

 驚いたことに9が並ぶ.このように分母が7以上の10を原始根とする素数で循環節の長さが偶数の場合,2分して足すと9が並ぶ.このことを理論的にとりあげたのは,Goodwyn(1801)であるという.

 次は,分子は1に限らないことにして

  3/7=0.428571428571・・・

    (循環節:428571の長さ6)

の循環節を2分して,それを足してみると

  428+571=999であるが,循環節を3分して,それを足してみると

  42+85+71=198=99×2

  [参]飯高茂「環論,これはおもしろい」共立出版

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【1】a/7の2分割和

  1/7の循環節:142857→142+758=999

  2/7の循環節:285714→285+714=999

  3/7の循環節:428571→428+571=999

  4/7の循環節:571428→571+428=999

  5/7の循環節:714285→714+285=999

  6/7の循環節:857142→857+142=999

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【2】a/7の3分割和

  1/7の循環節:142857→14+27+58=99

  2/7の循環節:285714→28+57+14=99

  3/7の循環節:428571→42+85+71=198=99×2

  4/7の循環節:571428→57+14+28=99

  5/7の循環節:714285→71+42+85=198=99×2

  6/7の循環節:857142→85+71+42=198=99×2

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【3】a/13の2分割和

  1/13の循環節:076923→076+923=999

  2/13の循環節:163846→153+846=999

  3/13の循環節:230769→230+769=999

  4/13の循環節:307692→307+692=999

  5/13の循環節:384615→384+615=999

  6/13の循環節:461538→461+538=999

  7/13の循環節:538461→538+461=999

  8/13の循環節:615384→615+384=999

  9/13の循環節:692307→692+307=999

  10/13の循環節:769230→769+230=999

  11/13の循環節:846153→846+153=999

  12/13の循環節:923076→923+076=999

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【4】a/13の3分割和

  1/13の循環節:076923→07+69+23=99

  2/13の循環節:163846→15+38+46=99

  3/13の循環節:230769→23+07+69=99

  4/13の循環節:307692→30+76+92=198=99×2

  5/13の循環節:384615→38+46+15=99

  6/13の循環節:461538→46+15+38=99

  7/13の循環節:538461→53+84+61=198=99×2

  8/13の循環節:615384→61+53+84=198=99×2

  9/13の循環節:692307→69+23+07=99

  10/13の循環節:769230→76+92+30=198=99×2

  11/13の循環節:846153→84+61+53=198=99×2

  12/13の循環節:923076→92+30+76=198=99×2

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【5】a/71の5分割和

 少年時代のガウスは1/71の循環節の長さが35であることを確認したが,これに対しては5分割和を考えることができる.たとえば

  1/71の循環節:0140845+0704225+3521126+7605633+8028169=19999998=9999999×2

  70/71の循環節:9859154+9295774+6478873+2394366+1971830=29999997=9999999×3

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