■ペル方程式のパラメータ解(その17)

【1】ブラーマグプタの恒等式

  (x1^2−Ny1^2)(x2^2−Ny2^2)=(x1x2+Ny1y2)^2−N(x1y2+x2y1)^2

に,x1=x2=x,y1=y2=y

を代入すると

  (x^2−Ny^2)^2=(x^2+Ny^2)^2−4N(xy)^2

  {(x^2−Ny^2)/2}^2={(x^2+Ny^2)/2}^2−N(xy)^2

  1={(x^2+Ny^2)/(x^2−Ny^2)}^2−N(2xy/(x^2−Ny^2))^2

===================================

【2】Speckmann-Ricaldeの恒等式

  (k^2m±1)^2−(k^2m^2±2m)k^2=1

  (Nm±1)^2−(Nm^2±2m)N=1

 すると,対応関係は

Nm±1←→(x^2+Ny^2)/(x^2−Ny^2)

←→Ny^2/(x^2−Ny^2)+x^2/(x^2−Ny^2)

m←→y^2/(x^2−Ny^2)

±1←→x^2/(x^2−Ny^2)

Nm^2±2m←→{2xy/(x^2−Ny^2)}^2

に代入すると

Ny^4/(x^2−Ny^2)^2+2x^2y^2/(x^2−Ny^2)^2

 しかし,これではうまくいかないから

N←→k^2m^2+2m

k^2m+1←→(x^2+Ny^2)/(x^2−Ny^2)

←→2Ny^2/(x^2−Ny^2)+1

k^2←→{2xy/(x^2−Ny^2)}^2

とする.

k^2←→{2xy/(x^2−Ny^2)}^2

k^2m←→2Ny^2/(x^2−Ny^2)

m←→N(x^2−Ny^2)/2x^2

あとは

N←→k^2m^2+2m

が成り立つかどうかである.

k^2m^2+2m

←→N^2y^2/x^2+N(x^2−Ny^2)/x^2

←→N

===================================

[まとめ]やっとブラーマグプタの恒等式とSpeckmann-Ricaldeの恒等式の対応がついたことになる.

===================================