■ペル方程式のパラメータ解(その9)

【1】Speckmann-Ricaldeの恒等式

  (k^2m±1)^2−(k^2m^2±2m)k^2=1

k=1とおけば

  (m±1)^2−(m^2±2m)1^2=1

k=m,m=1とおけば

  (m^2±1)^2−(m^2±2)m^2=1

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  (k^2m±1)^2−(k^2m^2±2m)k^2=1

はペル方程式とみなすことができる.この恒等式において,k=1〜6とおいたものが(その6)の前半になる.

  (m^2±1)^2−(m^2±2)m^2=1

この恒等式において,(その7)の前半に対応する.

  (k^2m±1)^2−(k^2m^2±2m)k^2=1

 この方程式はもっと一般化することができて,k=2j+1とおくと,

  ((2j+1)^2m±1)^2−((2j+1)^2m^2±2m)(2j+1)^2=1

であるが,k=j,m=2mとおくと

  (2j^2m±1)^2−(j^2m^2±m)(2j)^2=1

となって,(その6)の後半になる.

 同様に,恒等式

  (jm^2±1)^2−(j^2m^2±j)m^2=1

  ((4j+2)m^2±1)^2−((2j+1)^2m^2±(2j+1))(2m)^2=1

も得られる.

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