■ペル方程式のパラメータ解(その1)

 今回コラムではペル方程式のパラメータ解にあたるいくつかのおもしろい恒等式を紹介したい.

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【1】Speckmann-Ricaldeの恒等式

  (k^2m±1)^2−(k^2m^2±2m)k^2=1

k=1とおけば

  (m±1)^2−(m^2±2m)1^2=1

k=m,m=1とおけば

  (m^2±1)^2−(m^2±2)m^2=1

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【2】Ramasamyの恒等式

  [(4m−2)(m+1)^2+1]^2−[(2m+1)^2−4][2m(m+1)]^2=1

 この恒等式はSpeckmann-Ricaldeの恒等式

  (k^2m+1)^2−(k^2m^2+2m)k^2=1

において,k=m+1,m=4m−2とおいて得られる.

 Ramasamyの恒等式において,m=t+1とおけば

  (4t^3+18t^2+24t+9)^2−(4t^2+12t+5)(2t^2+6t+4)^2=1

 また,A^2−DB^2=−1の場合

  (A^2+DB^2)^2−D(2AB)^2=1

であるから,このことを利用すれば恒等式

  {2[m^3+(m+1)^3]}^2−[(2m+1)^2+4][m^2+(m+1)^2]^2=−1

が得られる.

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【3】Ramasamyの3-parameter恒等式

  (mt^3+nt^2+1)^2−(m^2t^4+2mnt^3+n^2t^2+2mt+2n)t^2=1

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