今回コラムではペル方程式のパラメータ解にあたるいくつかのおもしろい恒等式を紹介したい．

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【１】Speckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ±１）^2−（ｋ^2ｍ^2±２ｍ）ｋ^2＝１

ｋ＝１とおけば

　　（ｍ±１）^2−（ｍ^2±２ｍ）１^2＝１

ｋ＝ｍ，ｍ＝１とおけば

　　（ｍ^2±１）^2−（ｍ^2±２）ｍ^2＝１

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【２】Ramasamyの恒等式

　　［（４ｍ−２）（ｍ＋１）^2＋１］^2−［（２ｍ＋１）^2−４］［２ｍ（ｍ＋１）］^2＝１

　この恒等式はSpeckmann-Ricaldeの恒等式

　　（ｋ^2ｍ＋１）^2−（ｋ^2ｍ^2＋２ｍ）ｋ^2＝１

において，ｋ＝ｍ＋１，ｍ＝４ｍ−２とおいて得られる．

　Ramasamyの恒等式において，ｍ＝ｔ＋１とおけば

　　（４ｔ^3＋１８ｔ^2＋２４ｔ＋９）^2−（４ｔ^2＋１２ｔ＋５）（２ｔ^2＋６ｔ＋４）^2＝１

　また，Ａ^2−ＤＢ^2＝−１の場合

　　（Ａ^2＋ＤＢ^2）^2−Ｄ（２ＡＢ）^2＝１

であるから，このことを利用すれば恒等式

　　｛２［ｍ^3＋（ｍ＋１）^3］｝^2−［（２ｍ＋１）^2＋４］［ｍ^2＋（ｍ＋１）^2］^2＝−１

が得られる．

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【３】Ramasamyの3-parameter恒等式

　　（ｍｔ^3＋ｎｔ^2＋１）^2−（ｍ^2ｔ^4＋２ｍｎｔ^3＋ｎ^2ｔ^2＋２ｍｔ＋２ｎ）ｔ^2＝１

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