【２】２次元格子のボロノイ細胞

　１次元格子は直線上に等間隔に並んだ点の集合であり，すべての１次元格子は点の間隔が違うだけで，本質的には同じものである．しかし，２次元格子には基本的な種類が２つある．ひとつは等間隔に並んだ横列の各点の真上に他の横列の点があるもので，もうひとつは横列の点を水平方向にずらしたものである．すなわち，２次元格子の形は平行四辺形（正方形，長方形，菱形を含む）になるが，その格子点の各点に対して垂直二等分線を引くと，すべて合同なディリクレ領域ができる．

　どのような２次元格子であっても，そのディリクレ領域は４角形あるいは６角形になる．２次元の格子の多くについて，ボロノイ細胞は六角形であり，辺を点に縮めることによって四角形になるというわけである．

　無限に多くの２次元格子があるが，その対称性を考えると，本質的な配置は，正方形，長方形，菱形，二等辺三角形あるいは正三角形を２つ貼り合わせた平行四辺形状配置の５つしかない．それに対応するディリクレ領域も，正方形，長方形，切頂菱形（ソロバン珠型），長６角形（亀甲型），正６角形の５種類に限られることになる．

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【３】３次元格子のボロノイ細胞

　ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できる．２次元ディリクレ領域は５種類だったが，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかない．

　ついでにいうと，４次元格子のボロノイ細胞は２次元の六角形や３次元の切頂８面体にあたる素の形が３つあるため５２種類へと急増する．５次元格子では素の形だけで２２２種類，その辺を点に縮めると膨大な数になるのでリストアップはいまでも完成していない．また，ボロノイ細胞の面の数ｆは原始的な格子に対するものが最大で，２（２^n−１）個である．

　　ｎ＝２　→　ｆ＝６

　　ｎ＝３　→　ｆ＝１４

　　ｎ＝４　→　ｆ＝３０

　　ｎ＝５　→　ｆ＝５２

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