■空間充填多面体（その６）
【２】平行多面体による周期的空間充填
平行多面体による３次元空間の充填を考えると，１種類による周期的充填図形すなわち平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体として，立方体，正六角柱，菱形十二面体，長菱形十二面体，切頂八面体があります．以上の５種類を併せてフェドロフ（ロシアの結晶学者）の平行多面体といいます．６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．
平行多面体による空間充填は結晶構造と深く関係していて，３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あり，そして，これから決まる本質的なディリクレ領域（ボロノイ領域）は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかないというわけです．
これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以です．なお，２次元格子は５種類あり，それから決まるディリクレ領域も５種類あります．
［補］平行多面体のうち正多面体と同じ対称性をもつ立体は，プラトン立体では立方体，アルキメデス立体では切頂８面体，大菱形立方８面体，大菱形１２・２０面体，アルキメデス双対では菱形１２面体，菱形３０面体があります．また，これらの平行多面体から得られるねじれ立体には，正方形からは正４面体，切頂８面体からは正２０面体，大菱形立方８面体からはねじれ立方体，大菱形１２・２０面体からはねじれ１２面体があります．
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【３】黄金菱形多面体による非周期的充填
３次元空間の周期的充填に対して，非周期的充填には５種類の黄金平行多面体によるものが知られています．
ケプラーは，すべての面が合同な菱形である菱形多面体は，対角線の比が白銀比になっている菱形を１２個組み合わせてできる菱形十二面体と対角線の比が黄金比になっている菱形を３０個組み合わせてできる菱形三十面体以外にはないことを証明しようとしたのですが，実はあと２つ，１８８５年，フェドロフが発見した菱形二十面体と１９６０年にビリンスキーが発見した菱形十二面体第２種があります．
黄金菱形平行６面体には２種類（太った菱面体とやせた菱面体）あって，細めで尖ったほうがacute ，太めで平たいほうがobtuse と呼ばれていますが，２つずつacute とobtuse が集まれば菱形十二面体（第２種），５つずつ集まれば菱形二十面体，１０個ずつ集まれば菱形三十面体となります．このうち，菱形二十面体と菱形三十面体は５重の対称軸をもっています．
これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっています．すなわち，黄金平行多面体は５種類あり，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれます．
したがって，Ａ6とＯ6は３次元の，Ｂ12は４次元の，Ｆ20は５次元の，Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ同等になります．また，Ｂ12の中には２つずつのＡ6とＯ6が，Ｆ20の中にはひとつのＢ12と３つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＦ20の中には５つずつのＡ6とＯ6が），Ｋ30の中にはひとつのＦ20と５つずつのＡ6とＯ6が（いいかえればＫ30の中には１０個ずつのＡ6とＯ6が）それぞれ入っていることになります．
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Ｋ30は１０個ずつのＡ6とＯ6でできるのですが，ところで，２０個のＡ6でできる多面体に「花形十二面体」があります．中川宏さんに木工模型を作っていただいたのですが，桔梗の花に似た凹６０面体であって，中川さんのお話では山頂を結ぶと正１２面体，峠を結ぶと２０・１２面体，谷底を結ぶと正２０面体になっているとのことです．
すなわち，この多面体は５回対称性を有しているのですが，花弁の中心を通る軸が５回対称軸，尖った頂点を通る軸は３回対称軸，花弁の縁の窪みを通る軸が２回対称軸になっているそうです．「花形十二面体」は小川泰先生がペンローズ格子（３次元版）について研究中に見つけられて，命名された多面体とのことでまさしく「黄金の華」です．
［補］３次元の複合正多面体には５種類あります．２個の正四面体が集まるもの（ケプラーの八角星）を除く，５個の正四面体，１０個の正四面体，５個の立方体，５個の正八面体が集まるものは正２０面体と同じ回転対称性をもっています．５個の立方体よりなる複合正多面体に数種類の多面体を貼り合わせても「花形十二面体」ができます
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