【２】ケルビン問題（表面積は小さく容積は大きく）

　菱形十二面体としばしば対比されるのが切頂八面体です．どちらも単独で空間充填可能な立体図形なのですが，菱形十二面体が面心立方格子のボロノイ図であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子のボロノイ図となっています．

　ここでは，空間を体積が等しい凸多面体で，平均表面積ができるだけ小さくなるように分割せよという問題を考えてみることにしますが，ケルビンはプラトーの法則から６枚の正方形と８枚の正六角形からなる１４面体（切頂八面体）を導き出しました．

　そしてこの問題はかなり長い間，菱形１２面体による空間分割が解だと考えられていたのですが，予想に反して，体積１のときの表面積を求めると，菱形１２面体型分割では

　　3√１０８√２＝５．３４５・・・

切頂８面体型分割では

　　３／４3√４（１＋√１２）＝５．３１４・・・

と後者の方が約０．５％少なくなります．

　菱形１２面体の体積を求めるのはそれほど容易ではないので，計算方法を示しますと，切稜立方体の表面積Ｓと体積Ｖは，ｄをパラメータとして

　　Ｓ＝（６−９／√２）ｄ^2＋６√２ｄ＋６√２

　　Ｖ＝−３／４ｄ^3＋３／２ｄ^2＋３ｄ＋２

で表されます．菱形十二面体ではｄ＝０ですから

　　Ｓ＝６√２

　　Ｖ＝２

　一方，切頂八面体では

　　Ｓ＝（１２−８√３）ｄ^2＋（２４√３−４８）ｄ＋４８−１２√３

　　Ｖ＝８／３ｄ^3−１２ｄ^2＋１２ｄ＋４

においてｄ＝３／２とおいて求められます．したがって，

　　Ｓ＝３＋６√３

　　Ｖ＝４

となります．

　体積１のときの表面積は

　　3√（Ｓ^3／Ｖ^2）

で求められますから，菱形十二面体では

　　3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝3√（１０８√２）＝５．３４５・・・

切頂八面体では

　　3√（Ｓ^3／Ｖ^2）＝３／４・3√４・（１＋√１２）＝５．３１４・・・

　このようにして，１８８７年，英国の物理学者，ケルビン卿（ウィリアム・トムソン）は切頂八面体の集合によって空間を満たすことができ，そのときの界面積は菱形十二面体で満たしたときより小さいことを発見しました．すなわち，切頂八面体は表面張力を最小とする空間分割構造であると考えることができるのです．

［補］空間充填可能な凸ｎ面体すべてを決定することは現在でも未解決になっている．ちなみに現在は４≦ｎ≦３８であるすべてのｎに対し，空間充填可能な凸ｎ面体が存在することが判明している．ｎ＝３８に対しては，１９８１年にエンゲルが２つの異なる３８面体の存在を示した．ｎ≧３９に対して空間充填凸ｎ面体が存在するか否かはいまだ不明である．

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