【５】３次元格子のボロノイ領域

　まず，簡単な縄張りのモデルを考えてみましょう．草原のいくつかの巣穴にネズミが一匹ずつ棲んでいるとする．個々の縄張りが単独で存在するとき，縄張りはほぼ円であると考えることができますが，個体密度が次第に高くなってくると，縄張り所有者は互いに侵入者を追い払おうとしますから，縄張り間に境界が生じます．二匹のネズミの力に差がないとき，境界線は隣り合った２つの巣穴を結ぶ線分の垂直二等分線になり，そして，個体密度が十分高くなると，結局，棲息地はいくつかの凸多角形で分割されることになるのです．

　このように，はじめに点の分布（母点）があって，隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分線を次々に引いていくことによりできる多角形パターンは，ディリクレ領域またはボロノイ領域と呼ばれます．この概念は，はじめディリクレによって２次元で提出され（１８５０年），その後，ボロノイによって３次元に拡張されました（１９０８年）．

　研究分野によりいろいろな呼び名が使われていて，たとえば，地理学分野ではティーセン多角形と呼ばれていますし，物性物理学分野では，ウィグナー・ザイツセルという呼び名も用いられています．細胞（セル）の図と非常に似ているためでしょう．このように，ボロノイ分割は大勢の人が考えついて，しかも，いろいろな分野で独立に使われだしたようです．

　ディリクレ領域の概念は３次元にも一般化できます．３次元格子には１８４８年にブラーベが発見した１４種類あるのですが，これから決まる本質的なディリクレ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（正６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかありません．

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，このうち，６角柱と菱形１２面体は４次元立方体を３次元に投影したもの，長菱形１２面体は５次元立方体を，切頂８面体は６次元立方体を３次元に投影したものと一致しています．

　平行多面体は，結晶構造と深く関係していて，それぞれ，単純立方格子，六方格子，面心立方格子，底心格子（直方体の８個の頂点と上面・下面の面の中心に原子が配置されている構造），体心立方格子に対応するボロノイ領域です．これら５種類の平行多面体は，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていませんが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる所以です．

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