正多面体による空間充填を考えると、立方体を除く正多面体はどれも空間を充填しません。球に近い正多面体ほど空間充填が容易でなくなることは簡単に直観できますが、もっとも球に遠いはずの正四面体ですら空間を埋めつくせないわけですから、三次元のパッキングはなかなか一筋縄ではいきません。もし、２種類以上を使ってよければ、正四面体と正八面体の二面角が互いに補角ですから、両者を組み合わせて空間充填が可能になります。一種類の合同な正多面体による空間充填では立方体だけが空間充填形なのです。

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　双対正多面体は正多面体の頂点を削り落として作ることができますが、その中間段階でいろいろな準正多面体が得られます。たとえば、立方体の頂点を次第に削りとると、立方体（cube）→切頂立方体（truncated cube）→立方八面体（cuboctahedron）→切頂八面体（truncated octahedron）→正八面体（octahedron）と移行します。最終的には立方体の双対多面体である正八面体が得られますが、中間形の切頂立方体、立方八面体、切頂八面体はいずれも準正多面体です。反対に、正八面体の頂点を削っていくと、正八面体→切頂八面体→立方八面体→切頂立方体→立方体ができあがります。

　切頂八面体は名前のとおり正八面体の各辺を三等分して頂点を切り取った後に残る多面体です。実は、１６種類の準正多面体のなかで空間充填が可能なのは切頂八面体−−正６角形８枚と正方形６枚の２種類で作る１４面体−−しかありません。

　また、立方体の各辺の中点を結んで頂点を切り落とすと、６枚の正方形と８枚の正三角形の合計１４面からなる準正多面体ができます。正八面体についても１２本の辺の中点を結んでその頂点を切り落とすと全く同じ多面体ができます。このように立方八面体は立方体と正八面体の両方から中点を結ぶという同じプロセスでできあがる準正多面体です。日本では古くから灯篭などの照明器具などに立方八面体の形をした装飾品が使われ親しまれていますから、この立体をご存じの方も多いと思います。立方八面体は単独では空間充填形ではありませんが、正八面体と組み合わせると空間充填が可能です。

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これまででてきた正多面体の中では立方体だけ、準正多面体の中では切頂八面体だけが空間を単独で埋めつくすことができました。それ以外の単独空間充填形となる多面体としては、平行六面体と菱形十二面体（rhombic dodecahedoron ）があげられます。

　菱形十二面体は対角線の長さの比が１：√２の合同な菱形を１２枚張り合わせたものです。菱形十二面体はざくろ石の結晶としても自然界に産出し、その投影図は正面、平面、側面がすべて正方形になっているという奇妙な投影図形を示します。

　菱形十二面体は、面が正多角形ではないので準正多面体ではありませんが、立方八面体の各面の中心をつないで余分なところを切り落とすと現れる多面体、すなわち、準正多面体の双対多面体でもありますから一種の準正多面体群として考えることができます。このように、プラトン立体の双対は正多面体ですが、アルキメデス立体の双対は準正多面体とは異なる一群の立体となります。

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