フィボナッチ数の一般項は

　　Ｆn＝１／√５｛（（１＋√５）／２）^n−（（１−√５）／２）^n｝

で与えられる．

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　　８ｘ^2＋１＝ｙ^2

y^2-8x^2=1

(y,x)=(3,1)

√8の最良近似では

　　（3＋√8）^n＝ａn＋ｂn√8

　　（3−√8）^n＝ａn−ｂn√8

より

　　ａn+1＋√8ｂn+1＝（3＋√8）（ａn＋√8ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋8ｂn）＋√8（ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋8ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋8ｂn=3an+8(an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+8bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+an=3bn+(3an-1+8bn-1)=3bn-bn-1+3(an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)として，初期値をａ1＝3，ａ2＝1７，ｂ1＝1，ｂ2＝6とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（17-3(3-√8)）−β^n-1（17-3(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝3

ｎ＝２：ａ2＝17・・・計算が合っている。

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（6-(3-√8)）-β^n-1（6-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝6

となります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｘ^2＋１＝２ｙ^2

x^2-2x^2=-1

(x,y)=(1,1)

√2の最良近似では

　　（1＋√2）^2n-1＝ａn＋ｂn√2

　　（1−√2）^2n-1＝ａn−ｂn√2

より

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（1+√2）^2（ａn＋√2ｂn）=(3+2√2）（ａn＋√2ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋4ｂn）＋√2（2ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn

　　ｂn+1＝2ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn=3an+4(2an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+4bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+2an=3bn+2(3an-1+4bn-1)=3bn-bn-1+3(2an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)=(1+/-√2)^2として，初期値をａ1＝1，ａ2＝７，ｂ1＝1，ｂ2＝5とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（7-(3-√8)）−β^n-1（7-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝1

ｎ＝２：ａ2＝7

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（5-(3-√8)）-β^n-1（5-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝5

となります．

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　フィボナッチ数の一般項は

　　Ｆn＝１／√５｛（（１＋√５）／２）^n−（（１−√５）／２）^n｝

で与えられるが、これらのことからフィボナッチ数列もペル方程式の表現を持つのではないだろうかと思われる。

α、β、a1,a2(あるいはb1,b2)が与えられている。漸化式も求められるが、直接

　　α^n＝ａn＋ｂn√D

　　β^n＝ａn−ｂn√D

の形にできる

これからx^2-Dy^2=1にも持っていけると思われる

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