結局

[1] x^2-Dy^2=1

[2] x^2-Dy^2=-1

[3] x^2-Dy^2=+/-1

のなかでは[2]が一番難しかったことになる。

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[3]

y^2-2x^2=+/-1

(y,x)=(1,1)

√2の最良近似では

　　（1＋√2）^n＝ａn＋ｂn√2

　　（1−√2）^n＝ａn−ｂn√2

より

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（1＋√2）（ａn＋√2ｂn）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋2ｂn）＋√2（ａn＋ｂn）

より

　　ａn+1＝ａn＋2ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋ｂn

　　ａn+1＝ａn＋2ｂn=an+2(an-1+bn-1)=an+2an-1+(an-1+2bn-1)=2an+an-1

　　ｂn+1＝bn+an=bn+(an-1+2bn-1)=bn+bn-1+(an-1+bn-1)=2bn+bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−2ｘ-1＝０の根(1±√2)として，初期値をａ1＝1，ａ2＝3，ｂ1＝1，ｂ2＝2とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（3-(1-√2)）−β^n-1（3-(1+√2)）｝／2√2

ｎ＝１：ａ1＝1

ｎ＝２：ａ2＝3

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（2-(1-√2)）-β^n-1（2-(1+√2)）｝／2√2

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝2

となります．

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[1]

(3+2√2)(3-2√2)=1

(3+2√2)^n(3-2√2)^n=1

　　（3＋2√2）^n＝ａn＋ｂn√2

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（3＋2√2）（ａn＋√2ｂn）

[3]

(1+√2)(1-√2)=-1

(1+√2)^n(1-√2)^n=(-1)^n

　　（1＋√2）^n＝ａn＋ｂn√2

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（1＋√2）（ａn＋√2ｂn）

[2]

(1+√2)(3+2√2)^n-1

　　（1＋√2）(3+2√2)^n-1＝ａn＋ｂn√2

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（3＋2√2）（ａn＋√2ｂn）・・・ここの形は[1]と同型

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