結局

[1] x^2-Dy^2=1

[2] x^2-Dy^2=-1

[3] x^2-Dy^2=+/-1

のなかでは[2]が一番難しかったことになる。

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[1]

y^2-2x^2=1

(y,x)=(3,2)

√2の最良近似では

　　（3＋2√2）^n＝ａn＋ｂn√2

　　（3−2√2）^n＝ａn−ｂn√2

より

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（3＋2√2）（ａn＋√2ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋4ｂn）＋√2（2ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn

　　ｂn+1＝2ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn=3an+4(2an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+4bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+2an=3bn+2(3an-1+4bn-1)=3bn-bn-1+3(2an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)として，初期値をａ1＝3，ａ2＝1７，ｂ1＝2，ｂ2＝12とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（17-3(3-√8)）−β^n-1（17-3(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝3

ｎ＝２：ａ2＝17

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（12-2(3-√8)）-β^n-1（12-2(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝6

となります．

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[2]

x^2-2x^2=-1

(x,y)=(1,1)

√2の最良近似では

　　（1＋√2）^2n-1＝ａn＋ｂn√2

　　（1−√2）^2n-1＝ａn−ｂn√2

より

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（1+√2）^2（ａn＋√2ｂn）=(3+2√2）（ａn＋√2ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋4ｂn）＋√2（2ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn

　　ｂn+1＝2ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn=3an+4(2an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+4bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+2an=3bn+2(3an-1+4bn-1)=3bn-bn-1+3(2an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)=(1+/-√2)^2として，初期値をａ1＝1，ａ2＝７，ｂ1＝1，ｂ2＝5とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（7-(3-√8)）−β^n-1（7-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝1

ｎ＝２：ａ2＝7

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（5-(3-√8)）-β^n-1（5-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝5

となります．

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　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（2+2√2)）-β^n-1（2-2√2)）｝／4√2

＝｛α^n-1（2+2√2)）-β^n-1（2-2√2)）｝／4√2

＝｛α^n-1（1+√2)）-β^n-1（1-√2)）｝／2√2

＝｛（1+√2)^2n-1-（1-√2)^2n-1｝／2√2

n=1,b1=1

n=2,b2=5

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