■ペル方程式(その170)

 フィボナッチ数の一般項は

  Fn=1/√5{((1+√5)/2)^n−((1−√5)/2)^n}

で与えられる.

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  8x^2+1=y^2

 この一般解は

1/32{(17+12√2)^n+(17−12√2)^n−2}

で与えられる.

n=1,1

n=2,NG整数にならない。ここが違っている

y^2-8x^2=1

(y,x)=(3,1)

√8の最良近似では

  (3+√8)^n=an+bn√8

  (3−√8)^n=an−bn√8

より

  an+1+√8bn+1=(3+√8)(an+√8bn)

          =(3an+8bn)+√8(an+3bn)

より

  an+1=3an+8bn

  bn+1=an+3bn

  an+1=3an+8bn=3an+8(an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+8bn-1)=6an-an-1

  bn+1=3bn+an=3bn+(3an-1+8bn-1)=3bn-bn-1+3(an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

 α,βを2次方程式x^2−6x+1=0の根(3±√8)として,初期値をa1=3,a2=17,b1=1,b2=6とすると

  an={α^n-1(a2−βa1)−β^n-1(a2−αa1)}/(α−β)

={α^n-1(17-3(3-√8))−β^n-1(17-3(3+√8))}/2√8

n=1:a1=3

n=2:a2=17・・・計算が合っている。

  bn={α^n-1(b2−βb1)−β^n-1(b2−αb1)}/(α−β)

={α^n-1(6-(3-√8))-β^n-1(6-(3+√8))}/2√8

n=1:b1=1

n=2:b2=6

となります.・・・計算が合っている。

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  x^2+1=2y^2

 この一般解は

1/2{(1+√2)^n+(1−√2)^n}

で与えられる.

n=1、1

n=2、3・・・ここが違っている

x^2-2x^2=-1

(x,y)=(1,1)

√2の最良近似では

  (1+√2)^2n-1=an+bn√2

  (1−√2)^2n-1=an−bn√2

より

  an+1+√2bn+1=(1+√2)^2(an+√2bn)=(3+2√2)(an+√2bn)

          =(3an+4bn)+√2(2an+3bn)

より

  an+1=3an+4bn

  bn+1=2an+3bn

  an+1=3an+4bn=3an+4(2an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+4bn-1)=6an-an-1

  bn+1=3bn+2an=3bn+2(3an-1+4bn-1)=3bn-bn-1+3(2an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

 α,βを2次方程式x^2−6x+1=0の根(3±√8)=(1+/-√2)^2として,初期値をa1=1,a2=7,b1=1,b2=5とすると

  an={α^n-1(a2−βa1)−β^n-1(a2−αa1)}/(α−β)

={α^n-1(7-(3-√8))−β^n-1(7-(3+√8))}/2√8

n=1:a1=1

n=2:a2=7

  bn={α^n-1(b2−βb1)−β^n-1(b2−αb1)}/(α−β)

={α^n-1(5-(3-√8))-β^n-1(5-(3+√8))}/2√8

n=1:b1=1

n=2:b2=5

となります.・・・計算は合っている

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  bn={α^n-1(b2−βb1)−β^n-1(b2−αb1)}/(α−β)

={α^n-1(2+2√2))-β^n-1(2-2√2))}/4√2

={α^n-1(2+2√2))-β^n-1(2-2√2))}/4√2

={α^n-1(1+√2))-β^n-1(1-√2))}/2√2

={(1+√2)^2n-1-(1-√2)^2n-1}/2√2

n=1,b1=1

n=2,b2=5・・・計算は合っている

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合っていないのは書籍に書かれている解の方であった。やれやれ

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