フィボナッチ数の一般項は

　　Ｆn＝１／√５｛（（１＋√５）／２）^n−（（１−√５）／２）^n｝

で与えられる．

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　　８ｘ^2＋１＝ｙ^2

　この一般解は

１／３２｛（１７＋１２√２）^n＋（１７−１２√２）^n−２｝

で与えられる．

n=1,1

n=2,NG整数にならない。ここが違っている

y^2-8x^2=1

(y,x)=(3,1)

√8の最良近似では

　　（3＋√8）^n＝ａn＋ｂn√8

　　（3−√8）^n＝ａn−ｂn√8

より

　　ａn+1＋√8ｂn+1＝（3＋√8）（ａn＋√8ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋8ｂn）＋√8（ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋8ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋8ｂn=3an+8(an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+8bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+an=3bn+(3an-1+8bn-1)=3bn-bn-1+3(an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)として，初期値をａ1＝3，ａ2＝1７，ｂ1＝1，ｂ2＝6とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（17-3(3-√8)）−β^n-1（17-3(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝3

ｎ＝２：ａ2＝17・・・計算が合っている。

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（6-(3-√8)）-β^n-1（6-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝6

となります．・・・計算が合っている。

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　　ｘ^2＋１＝２ｙ^2

　この一般解は

１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

で与えられる．

n=1、1

n=2、3・・・ここが違っている

x^2-2x^2=-1

(x,y)=(1,1)

√2の最良近似では

　　（1＋√2）^2n-1＝ａn＋ｂn√2

　　（1−√2）^2n-1＝ａn−ｂn√2

より

　　ａn+1＋√2ｂn+1＝（1+√2）^2（ａn＋√2ｂn）=(3+2√2）（ａn＋√2ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋4ｂn）＋√2（2ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn

　　ｂn+1＝2ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋4ｂn=3an+4(2an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+4bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+2an=3bn+2(3an-1+4bn-1)=3bn-bn-1+3(2an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)=(1+/-√2)^2として，初期値をａ1＝1，ａ2＝７，ｂ1＝1，ｂ2＝5とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（7-(3-√8)）−β^n-1（7-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝1

ｎ＝２：ａ2＝7

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（5-(3-√8)）-β^n-1（5-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝5

となります．・・・計算は合っている

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　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（2+2√2)）-β^n-1（2-2√2)）｝／4√2

＝｛α^n-1（2+2√2)）-β^n-1（2-2√2)）｝／4√2

＝｛α^n-1（1+√2)）-β^n-1（1-√2)）｝／2√2

＝｛（1+√2)^2n-1-（1-√2)^2n-1｝／2√2

n=1,b1=1

n=2,b2=5・・・計算は合っている

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合っていないのは書籍に書かれている解の方であった。やれやれ

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