フィボナッチ数の一般項は

　　Ｆn＝１／√５｛（（１＋√５）／２）^n−（（１−√５）／２）^n｝

で与えられる．

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　　８ｘ^2＋１＝ｙ^2

　この一般解は

１／３２｛（１７＋１２√２）^n＋（１７−１２√２）^n−２｝

で与えられる．

y^2-8x^2=1

(y,x)=(3,1)

√8の最良近似では

　　（3＋√8）^n＝ａn＋ｂn√8

　　（3−√8）^n＝ａn−ｂn√8

より

　　ａn+1＋√8ｂn+1＝（3＋√8）（ａn＋√8ｂn）

　　　　　　　　　　＝（3ａn＋8ｂn）＋√8（ａn＋3ｂn）

より

　　ａn+1＝3ａn＋8ｂn

　　ｂn+1＝ａn＋3ｂn

　　ａn+1＝3ａn＋8ｂn=3an+8(an-1+3bn-1)=3an-an-1+3(3an-1+8bn-1)=6an-an-1

　　ｂn+1＝3bn+an=3bn+(3an-1+8bn-1)=3bn-bn-1+3(an-1+3bn-1)=6bn-bn-1

　α，βを２次方程式ｘ^2−6ｘ+1＝０の根(3±√8)として，初期値をａ1＝3，ａ2＝1７，ｂ1＝1，ｂ2＝6とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（17-3(3-√8)）−β^n-1（17-3(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ａ1＝3

ｎ＝２：ａ2＝17

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（6-(3-√8)）＋β^n-1（6-(3+√8)）｝／2√8

ｎ＝１：ｂ1＝1

ｎ＝２：ｂ2＝6

となります．・・・計算が合わない

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｘ^2＋１＝２ｙ^2

　この一般解は

１／２｛（１＋√２）^n＋（１−√２）^n｝

で与えられる．

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　フィボナッチ数の一般項は

　　Ｆn＝１／√５｛（（１＋√５）／２）^n−（（１−√５）／２）^n｝

で与えられるが、これらのことからフィボナッチ数列も類似の表現を持つのではないだろうかと思われる。

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