ペル方程式の問題では、Dが所与で

x^2-Dy^2=1

x^2-Dy^2=-1

を満たす整数解(x,y)を求めよという問題が多い

x^2-Dy^2=1は常に解をもつ

したがって、x^2-Dy^2=4,9,・・・は常に解をもつが、その解はx^2-Dy^2=1の倍解ばかりとは限らない。

x^2-Dy^2=-1が常に解を持つとは限らないが、解を持てばx^2-Dy^2=-4,-9,・・・は常に解をもつ

x^2-Dy^2=-4が解をもつための必要条件はDがp=1　(mod4)を満たす素因数からなり、p=3　(mod4)を満たす素因数をもてば解をもたない

x^2-Dy^2=-1が解をもつのは

D=2,5,10,13,17,26,29,37,41,50,53,58,61,65,73,74,82,85,89,97

x^2-Dy^2=-4が解をもつのは

D=2,5,8,10,13,17,20,26,29,37,40,41,50,52,53,58,61,65,68,73,74,82,85,89,97

その解はx^2-Dy^2=-1の倍解ばかりとは限らない。

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2,5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97は4n+1型素数

10=2・5

26＝2・13

50=2・5・5

58＝2・29

65＝5・13

74＝2・37

82＝2・41

85＝5・17

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8＝2・2・2

20＝2・2・5

40＝2・2・2・5

52＝2・2・13

68＝2・2・17

74＝2・37

x^2-Dy^2=-4が解をもつための必要条件はDがp=1　(mod4)を満たす素因数からなり、p=3　(mod4)を満たす素因数をもてば解をもたない

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x^2-Dy^2=2,3,5,6,7,8・・・などの問題が取り残されている

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