ラグランジュの定理：どんな自然数でも

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2

の形に書ける．

　これは解を具体的に求めるのではなく，下位が存在することを保証する存在定理である．また，解は一意であるとは限らない．

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

の場合は１通りに限られるが，

　　１７１８＝３０^2＋２５^2＋１２^2＋７^2＝４０^2＋９^2＋６^2＋１^2

は２通り（以上）の表現をもつ．

　また，

　　７＝１^2＋１^2＋１^2＋２^2

　　１５＝３^2＋２^2＋１^2＋１^2

では同じ平方数１^2が現れる．異なった平方数の和として書けない数は３１個あるとのことである．１５を含め，

　　２，３，６，７，８，１１，１２，１５，１８，１９，

　　２２，２３，２４，２７，２８，３１，３２，３３，

　　４３，４４，４７，４８，６０，６７，７２，７６，

　　９２，９６，１０８，１１２，１２８

がそのリストである．

　数が十分大きければ異なる平方数の和で表すことができる．１２８はこうならない最大の数で，その次の１２９は

　　１２９＝８^2＋７^2＋４^2

と異なる数の和である．

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