■ペル方程式(その155)
ペル方程式の問題では、Dが所与で
x^2-Dy^2=1
x^2-Dy^2=-1
を満たす整数解(x,y)を求めよという問題が多いが、ここでは
x^2-Dy^2=4
x^2-Dy^2=-4
を取り上げてみたい
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x^2-40y^2=-4
(x,y)=(6,1)はその解である。
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x^2-40y^2=4
(x,y)=(38,6)はその解である。
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ε=(x+y√D)/2とすると、任意の解は
ε^n=(xn+yn√D)/2となる(xn,yn)として与えられる
x^2-Dy^2=1は常に解をもつ
x^2-Dy^2=-4が解をもつための必要条件はDがp=1 (mod4)を満たす素因数からなり、
p=3 (mod4)を満たす素因数をもてば解をもたない
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