【３】最良近似の証明

（Ｑ）分母が≦Ｑnなるすべての分数のうちで，実数αの近似分数δn＝Ｐn／Ｑnはαを最もよく近似することを証明せよ．

（Ａ）分数ｋ／とｍ／ｎの差は≧１／ｌｎであることに注意．δn＜δn-1の場合のみ取り上げるが，ａ／ｂはδnに等しくなく，かつ，０＜ｂ≦Ｑnを満足する既約分数であるとする．

　　δn＜ａ／ｂ＜δn-1

とはならないことを証明する．もしそうなっていたとすれば

　　ａ／ｂ−δn≧１／ｂＱn，δn-1−ａ／ｂ≦１／ｂＱn-1

したがって，δn-1−δn＞１／ＱnＱn-1となって，矛盾が生じる．

　ゆえに，ａ／ｂ＜δnまたはδn-1≦ａ／ｂで，いずれにしてもδnのほうがａ／ｂよりもαに近いことになる．

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