f(x)=ax^2+bx+c, (a,b,c)=1,a>0

D=b^2-4ac

α=(-b+√D)/2a

α'=(-b-√D)/2a

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αが簡約2次無理数であるとは、α＞1かつ-1＜α'＜0を満たすことをいう。

α=(1+√2)/2，α=(1-√2)/2は4x^2-4x-1=0で、簡約2次無理数となる。

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αが簡約2次無理数であるための必要十分条件は、f(-1)＞0,f(0)＜0,f(1)＜0

すなわち、a-b+c＞0,c＜0,a+b+c＜0

-b+√D＞2a＞b+√D＞0

0＜-b＜√D・・・Dに対してｂは有限個

このとき

4ac|(D-b^2)より、a,cも有限個

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D=40に対して

0＜-b＜√40＝6.32

また、D=b^2 （mod4）→D=b　　(mod2)であるから、可能なｂは-2,-4,-6のみ

b=-2→D^2-b^2=36→ac=-9

b=-4→D^2-b^2=24→ac=-6

b=-6→D^2-b^2=4→ac=-1

-b+√D＞2a＞b+√D＞0より

b=-2→D^2-b^2=36→ac=-9、8.32＞2a＞4.32→(a,c)=(3,-3)

b=-4→D^2-b^2=24→ac=-6、10.32＞2a＞2.32→(a,c)=(3,-2),(2-3)

b=-6→D^2-b^2=4→ac=-1、12.32＞2a＞0.32→(a,c)=(1,-1)

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D=40に対して、

α=(1+√10)/3, (2+√10)/3,(2+√10)/2,(3+√10)

が得られる。

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