ペル方程式：ｘ^2−ｄｙ^2＝１について，フェルマーは少なくとも１つの自明でない整数解（（ｘ，ｙ）＝（±１，０）以外の解が存在するだろうと予想しましたが，この予想は１７６８年，ラグランジュにより証明されています．

　この方程式は無限に多くの解をもち，基本解（最小の整数解）を（ｘ，ｙ）とおくと一般解は

　　±（ｘ＋ｙ√ｄ）^n　　　ｎ＝０，±１，±２，・・・

により与えられます．ペル方程式は√ｄの最良近似値を次々に生成する所以です．

　基本解の求め方については（その２）で説明したとおりです．今回のコラムではまずｄ＝２の場合を扱ってみましょう．

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　Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は

　　（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２

により与えられます．

　　（１＋√２）（１−√２）＝−１

　　（１＋√２）^2（１−√２）^2＝１

　　（１＋√２）^3（１−√２）^3＝−１

　　（１＋√２）^4（１−√２）^4＝１

より，ｘ^2−２ｙ^2＝±１の解を（ｔn，ｕn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝１の解を（ｘn，ｙn），

　　　ｘ^2−２ｙ^2＝−１の解を（ｒn，ｓn）

とおくと

　　ｔn＋√２ｕn＝（１＋√２）^n

　　ｘn＋√２ｙn＝（１＋√２）^2n（３＋２√２）^n

　　ｒn＋√２ｓn＝（１＋√２）^2n-1＝（１＋√２）（３＋２√２）^n-1

で与えられます．

　　ｔn+1＋√２ｕn+1＝（１＋√２）（ｔn＋√２ｕn）

　　　　　　　　　　＝（ｔn＋２ｕn）＋√２（ｔn＋ｕn）

より

　　ｔn+1＝ｔn＋２ｕn

　　ｕn+1＝ｔn＋ｕn

　　ｃn ＝［ｔn，ｕn］’　　　Ａ＝［ａ，ｂ］＝［１，２］

　　　　　　　　　　　　　　　　　［ｃ，ｄ］　［１，１］

とおくと，ｃn+1＝Ａｃn，ｃn+2＝Ａｃn+1＝Ａ^2ｃn

　ここで，ケーリー・ハミルトン方程式

　　Ａ^2＝（ｔｒＡ）Ａ−（ｄｅｔＡ）Ｉ

より

　　ｃn+2 ＝Ａ^2ｃn＝（ｔｒＡ）Ａｃn−（ｄｅｔＡ）Ｉｃn

　　　　　＝（ｔｒＡ）ｃn+1−（ｄｅｔＡ）ｃn

　　　　　＝（ａ＋ｄ）ｃn+1−（ａｄ−ｂｃ）ｃn

　　　　　＝２ｃn+1＋ｃn

　ところで，ペル数列（ａn＝２ａn-1＋ａn-2）

　　１，２，５，１２，２９，７０，１６９，４０８，・・・

の特性方程式

　　ｘ^2−２ｘ−１＝０

の２根を

　　γ＝１＋√２，δ＝１−√２

とおくと，ペル数列の一般項は，

　　Ｐn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

　また，連続する２項の比は

　　１＋√２

に次第に近づくことになります．

　　ｔn ＝１／２（γ^n＋δ^n）

　　ｕn ＝１／２√２（γ^n−δ^n）

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　　ｘn+1＋√２ｙn+1＝（３＋２√２）（ｘn＋√２ｙn）

　　　　　　　　　　＝（３ｘn＋４ｙn）＋√２（２ｘn＋３ｙn）

　　ｃn+2 ＝６ｃn+1−ｃn

　　α＝３＋２√２，β＝３−２√２

　　ｘn ＝１／２（α^n＋β^n）

　　ｙn ＝１／２√２（α^n−β^n）

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【２】√ｄの近似値とチェビシュフ多項式

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝１の最小解を（ｘ1，ｙ1），

　　　ｘ^2−ｄｙ^2＝−１の最小解を（ｒ1，ｓ1）

とおくと，漸化式

　　ｃn+2 ＝２ｘ1ｃn+1−ｃn　　　（ｃ＝ｘ，ｙ，ｒ，ｓ）

　　ｃn+2 ＝２ｒ1ｃn+1＋ｃn　　　（ｃ＝ｔ，ｕ）

が成り立つ．

　ところで，ド・モアブルの定理：

　　（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）

　　ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）

を得る．

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ

より，漸化式

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）

　　Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）

　　Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）

が成り立つ．

　ｃｏｓθ＝ｘの多項式で表すと，チェビシュフ多項式は

　　Ｔn（ｘ）＝２ｘＴn-1（ｘ）−Ｔn-2（ｘ）

　　Ｕn（ｘ）＝２ｘＵn-1（ｘ）−Ｕn-2（ｘ）

となり，前述の漸化式と一致していることがわかる．

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　したがって，

　　ｘn＝Ｘn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｙn（ｘ1）

　　ｔn＝Ｖn（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｗn（ｔ1）

とおくと，チェビシュフ多項式を用いて

　　ｘn＝Ｔn（ｘ1），ｙn＝ｙ1Ｕn-1（ｘ1）

　　ｔn＝Ｔ~n（ｔ1），ｕn＝ｕ1Ｕ~n-1（ｔ1）

　　ｘn＝Ｔ~2n（ｔ1），ｙn＝ｕ1Ｕ~2n-1（ｔ1）

　　ｒn＝Ｔ~2n-1（ｒ1），ｓn＝ｓ1Ｕ~2n-2（ｒ1）

と表される．

　ただし，Ｔ~n，Ｕ~nはチェビシェフ多項式Ｔn，Ｕnの負の符号を正に変えたものである．以下，チェビシェフ多項式を示しておく．

Ｔ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｔ~0（ｘ）＝１　　　　　　　　

Ｔ1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　 Ｔ~1（ｘ）＝ｘ　　　　　　　　

Ｔ2（ｘ）＝２ｘ^2−１　　　　 Ｔ~2（ｘ）＝２ｘ^2＋１　　　　

Ｔ3（ｘ）＝４ｘ^3−３ｘ　　　 Ｔ~3（ｘ）＝４ｘ^3＋３ｘ　　　

Ｔ4（ｘ）＝８ｘ^4−８ｘ^2＋１ Ｔ~4（ｘ）＝８ｘ^4＋８ｘ^2＋１

Ｕ0（ｘ）＝１　　　　　　　　 Ｕ~0（ｘ）＝１　　　　　　　

Ｕ1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　　 Ｕ~1（ｘ）＝２ｘ　　　　　　　

Ｕ2（ｘ）＝４ｘ^2−１　　　　 Ｕ~2（ｘ）＝４ｘ^2＋１　　　

Ｕ3（ｘ）＝８ｘ^3−４ｘ　　　 Ｕ~3（ｘ）＝８ｘ^3＋４ｘ　　

Ｕ4（ｘ）＝１６ｘ^4−１２ｘ^2＋１ Ｕ~4（ｘ）＝１６ｘ^4＋１２ｘ^2＋１

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