立方数の和＝三角数Ｔnの平方　　　（Σｋ^3＝（ｎ（ｎ＋１）／２）^2）

であるが、五角数１，５，１２，２２，３５，・・・，Ｐn＝ｎ（３ｎ−１）／２については，五角数の和が

　　ΣＰk＝ｎ^2（ｎ＋１）／２

となること，三角数との関係では

　　Ｐn＝Ｔ2n-1−Ｔn-1，Ｐn＝Ｔ3n-1／３

となることは高校生でも計算できるだろう．

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一般に「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものである．三角数を△，四角数を□，五角数を☆で表すことにすると，この定理でｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」，ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」に相当する．

　五角数に限らず，ｍ角数を図形的に考えてみると，ｍ角形にｎ−１番目の三角数Ｔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２個の点からなる三角形を追加して作ることができるから

　　ｎ＋（ｍ−２）Ｔn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝

と考えることができる．したがって，三角数との関係は五角数に特別のものではない．それでは，五角数には何か面白い性質はないのだろうか？

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　フィボナッチ数Ｆnは指数関数的であって，たとえば，初項１，第２項２のフィボナッチ数列１，２，３，５，８，１３，・・・の一般項は

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］

と表される．また，三角関数を使った積表示

　　Ｆn＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝

をもつ．

　初項１，第２項１のフィボナッチ数列の場合は積表示においてｎ＋１→ｎとなるだけのことであり，いろいろな恒等式

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n　　　（カッシーニの公式）

　　Ｆ1＋Ｆ2＋Ｆ3＋・・・＋Ｆn＝Ｆn+2−１

　　Ｆ1＋Ｆ3＋Ｆ5＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n

　　Ｆ2＋Ｆ4＋Ｆ6＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１

フィボナッチ数の平方の和については

　　Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn・Ｆn+1

　　Ｆn+1^2＝４ＦnＦn-1＋Ｆn-2^2

　　Ｆn+1^2＝２Ｆn^2＋２Ｆn-1^2−Ｆn-2^2

　　Ｆn+1^2＝４Ｆn-1^2＋４Ｆn-1Ｆn-2＋Ｆn-2^2

　　Ｆn+1^2＝４Ｆn^2−４Ｆn-1Ｆn-2−３Ｆn-2^2

などが知られている．

　それに対して，五角数Ｐnは多項式関数であるから，積表示はもたないだろうと思われる．特別な点といえば，五角数（したがって三角数も）整数の分割数と深く関係していることであろう．

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