有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2＝６５ｃｍ^2＞は，８・８の正方形から５・１３の長方形を作ると，いつのまにか面積が１だけ増えています．

　「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．１７９４年，フーパーが初めて紹介したという記述もあります（フーパーのパラドックス）．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．

　ファイボナッチ数の連続する３項には奇妙な関係があり，

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n

すなわち，第１項と第３項をかけた数と第２項の２乗の差が常に±１になります．たとえば，５，８，１３の場合は５・１３＝８^2＋１になります．

　このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．公式

　　Ｆn・Ｆn+2＝Ｆn+1^2−（−１）^n

は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．

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正三角形を４つの部分に分解して、それを正方形に並べ替えよというパズルは1907年、デュドニーの作とされている。面積の等しい任意の多角形は分解合同になるボヤい・ゲルヴィンの定理の例である。

フーパーのパラドックスも正方形を4片に分解して、長方形に並べ替えたように見えるが、それらの面積を比較すると64＝65になっているように見える。同じ４片の並べ替えでも一方は定理であり、一方はトリックなのである。

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フィボナッチ数

1,12,3,5,8,13,21,34,55,8,144,・・・

この数列は急速に成長し、20番目は6765、30番目は832040となる。

Fn〜φ^n/√5

12番目は144で平方数であるが、

24番目46368

36番目19930352は平方数ではない

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一方, 五角数

1,5,12,22,35,51,70,92,・・・

はTn=n(3n-1)/2であり、かつ、四角数であるものを求めよという問題も考えられるところである。

最初の５つは

P1=1

P81=99^2

P7921=9701^2

P776161=950599^2

P76055841=93149001^2

であるが、たまにしか現れず、最後の２桁は交互に 01^2か99^2となるようだ。

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