【１】kissing numberの上界と下界

　ここでまた，kissing numberの問題に戻りましょう．

　　τ1＝２，τ2＝６，τ3＝１２

そして，４次元以上の高次元では，８次元（２４０個）と２４次元（１９６５６０個）の場合を除いて未解決です．

　　τ8＝２４０，τ24＝１９６５６０

　ｎ次元球のkissing numberの上界は，コクセターの方法によって粗雑ながら押さえられます．それは１球面上に大きさの等しい球帽（球面上の円，球面半径φ）を埋め込むときの最密充填の問題に帰着されるのですが，それは単体的密度限界

　　ｄn＝（２ｎ／（ｎ＋１））^(-n/2)Ｄn

　　　　＝（ｎ＋１）^(1/2)（ｎ！）^2／２^(3n/2)・ｖnＦn(1/2arcsec(n)θ)

と類似の方法になっています．

　ｎ次元正単体（二面角２θ）の頂点を超球の中心において，（ｎ−１）次元球面上に射影します．球面上には（ｎ−１）次元球面正三角形ができ，その面積は

　　Σ＝２^(-n)ｎ！ｓnＦn(θ)

で与えられます．これは正単体の１辺の球面距離２φの関数になります．

　また，σを球面正三角形の頂角の和とすると，球面上にはｎ個の点が配置され，（ｎ−２）次元球帽が（ｎ−１）次元球面を覆うことになります．そして，１つの頂角は（ｎ−１）次元正単体を（ｎ−２）次元球面上に射影したものに等しくなりますから

　　σ＝ｎ２^(-n+1)（ｎ−１）！Ｆn-1(θ)

　すなわち，上界は

　　（ｐ，３，・・・，３），θ＝π／ｐ

なる三角形面正多面体（単体的正多面体：ｎ−１次元面が単体）の頂点に（ｎ−２）次元球を配置する問題となるのですが，ここで，球面上にＮ(φ)個の点を配置した場合，不等式

　　Ｎ(φ)≦σｓn／Σ

が成り立ちますから，最終的に

　　Ｎ(φ)≦２Ｆn-1(θ)／Ｆn(θ)

　　ｓｅｃ２θ＝ｓｅｃ２φ＋ｎ−２

を得ることができます．

　kissing number（τn）に関しては，φ＝π／６の場合を考えればよいので，　　τn≦２Ｆn-1(1/2arcsecn)／Ｆn(1/2arcsecn)

となり，

　　ｎ＝２　→　２Ｆ1(π/6)／Ｆ2(π/6)＝６

　　ｎ＝３　→　２Ｆ2(1/2arcsecn3)／Ｆ3(1/2arcsecn3)＝6/(3-π/arcsec3)＝１３．３９・・・

　　ｎ＝４　→　２Ｆ3(1/2arcsecn4)／Ｆ4(1/2arcsecn4)＝5(1+1/(2-2π/arcsec4))＝２６．４４・・・

　５次元以上では，数値積分によらなければなりませんが，

　　ｆn(x)＝Ｆn(1/2arcsecx)

と書くことにすると，

　　ｆ2(x)＝arcsecx/x

　　ｆn(x)＝1/π∫(n-1,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　　　　＝ｆn(n)＋1/π∫(n,x)ｆn-2(x-2)/x√(x^2-1)dx

　　ｆn(x)＝ｆn-1(x)-1/3ｆn-3(x)+2/15ｆn-5(x)-17/315ｆn-7(x)+62/2835ｆn-9(x)-･･･(n:odd)

　　ｆn(x)＝1/3ｆn-2(x)-2/15ｆn-4(x)+17/315ｆn-6(x)-62/2835ｆn-8(x)+･･･(n:even)

　リーチは台形則を用いて数値積分し，

　　２ｆn-1(n)／ｆn(n)

を求めました．その結果は

　　２ｆ3(4)／ｆ4(4)=22.44･･･

　　２ｆ4(5)／ｆ5(5)=48.70･･･

　　２ｆ5(6)／ｆ6(6)=85.81･･･

　　２ｆ6(7)／ｆ7(7)=146.57･･･

　　２ｆ7(8)／ｆ8(8)=244.62･･･

以下，(9)401,(10)648,(11)1035,(12)1637,･･･と続きます．

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　以下に，現在知られている上界・下界を記しますが，コクセターの方法は，現在知られている上界よりほんの少し大きい方に偏っていることがわかります．このようにτnの知られている上限と下限の間の差はまだ非常に大きいといえます．

　　ｎ　 τn 　　ｎ　 τn

　　1 　　　　　 2 　　13 1130〜2233

　　2 6 　　14 1582〜3492

　　3 12 　　15 2564〜5431

　　4 24〜25 　　16 4320〜8313

　　5 40〜46 　　17 5346〜12215

　　6 72〜82 　　18 7398〜17877

　　7 126〜140 　　19 10668〜25901

　　8 240 　　20 17400〜37974

　　9 306〜380 　　21 27720〜56852

　　10 500〜595 　　22 49896〜86537

11 582〜915 23 93150〜128096

12 840〜1416 24 196560

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［補］kissing numberの漸近評価

　kissing numberの漸近評価については

　　１／ｂ＝ｓｅｃ２θ−ｎ＋１

とおくと，

　　Ｆn(θ)〜√{(1+nb)/2}･1/(n!e^(1/b))･(2e/πnb)^(n/2)

したがって，

　　Ｎ(φ)〜2^(1-n/2)√(πcos2φ)n^(3/2)/(e(sinφ)^(n-1))

　φ＝π／６のとき

　　τn　〜　2^((n-1)/2)n^(3/2)√π/e

となります．

　また，上限に関しては

　　τn　≦　2^(0.401n(1+o(1)))

という式が知られています．

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